自然数|这可能是世上最美丽的函数( 四 ) 定义|函数|方式|答案|对数|利昂

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这本身已经是一个非常nice ，并且很著名的结果了。但我们不想就此打住。
我们对这个极限继续做一些简单的操作：

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这里，我们在e的指数上加上和减去了Σz/i ，这里的log仍是自然对数。
我们现在可以将指数化成多项的乘积：

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回忆一下欧拉常数的定义：

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若对上面Gamma函数的表达式取极限，我们就得到一个美丽的结果，叫做Gamma函数的Weierstrass积。

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看，这是一颗数学的珍珠呢！在某种程度上，这是Gamma函数的一个更好的表达式，我们过会儿再回来。

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欧拉的反射公式
数学中最美丽的关系式得益于欧拉。不过这次我说的不是他著名的欧拉恒等式，而是反射公式。欧拉发现了下面这个令人惊奇的结果，将Gamma函数与三角函数联系了起来。

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证明如下：
顺便提一句， sin函数的无穷积也是欧拉发现的！

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如果想看他的证明，你可以去读他的文章《Infinity in Numbers》
Gamma函数的Weierstrass积可以写成

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通过比较Γ(z)和Γ(-z)我们就能得到：

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然后我们可以运用Gamma函数的函数方程Γ(1-z)= -zΓ(-z)来导出：

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很明显z不可为整数，否则分母为0 。
Gamma函数的应用
Gamma函数在数学中可谓无处不在。从统计学、数论、复分析，到物理中的弦理论。 Gamma函数就像把不同领域粘合起来的数学胶水。接下来我们将会看到，其实有个非常好的理由解释这一点。

自然数|这可能是世上最美丽的函数( 四 )

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