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自然数|这可能是世上最美丽的函数

无论你是从事数学研究 ， 还是从事物理研究 ， 或多或少都会对Gamma函数有所耳闻 。 有人说它是世上最美的函数 ， 这一点见仁见智 。 但是不可否认的是这一优美的公式确实极其重要 。 今天我们就来聊聊Gamma函数的由来 ， 以及它背后的奇妙之处 。
让我先问你两个问题：
★
QUESTIONS
★
1/2的阶乘是多少？
你最喜欢的函数是什么？
如果你的答案不是Gamma函数的话 ， 等你读完这篇文章 ， 我再来问一遍 。 你的答案或许会变…
引子
18世纪20年代晚期 ， 利昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在考虑如何将阶乘扩展到分数 。 故事就这样开始了：这个围绕着一个重要数学函数的、内涵丰富的理论应用到了整个科学界 。
自然数|这可能是世上最美丽的函数
文章图片

利昂哈德·欧拉
欧拉毫无疑问是最伟大的数学家之一 ， 这里的几个例子可以让你一睹他天才的风采 。
首先 ， 欧拉有着超人的记忆力！他能把维吉尔的《伊尼特》从头到尾背下来 ， 甚至能准确说出任何一句话位于哪一页的哪一行 。 要知道 ， 《伊尼特》一共有9896行呢！
欧拉也是极度高产的 。 他在一生中写了大约3万页作品 ， 据估计 ， 十八世纪发表的科学论文中 ， 有三分之一都肇始于他 。 他甚至在死后还发表了一篇文章！而且他的许多作品都是在失明后写成的 ， 因此 ， 欧拉也被称为 “数学界的贝多芬” 。
贝多芬听不到他的音乐 ， 同样 ， 欧拉也看不见自己的计算 。 事实上 ， 欧拉对于自己的失明十分乐观 。 他说：“这样 ， 让我分心的事儿就更少了 。 ”人们会觉得失明势必会拖他的后腿 ， 但事实上 ， 欧拉反倒更加高产了 。
欧拉也有着非凡的计算能力 。 有一次 ， 两位学生关于一个17项级数的和争执不下 ， 因为他们结果的第55位有出入 。 欧拉用几秒钟心算出了正确的结果 。
欧拉的同事尼古拉斯·德·康多塞特写了一篇长长的悼文 ， 盛赞欧拉是“大自然创造出的最伟大和最卓越的人之一” 。
说回来 ， 彼时欧拉正在考虑如何扩展阶乘函数 。 下面就来讲讲欧拉的想法和随之而来的奇妙的性质 。 文章的后半部分会告诉大家 ， 他赋予了（1/2）!什么意义 ， 以及这个符号的值是多少 。
阶乘
讲故事之前 ， 我们先来重温一下阶乘 。 它是前n个自然数的乘积 。
n! = n (n - 1) (n - 2) 3 2 1
比如：
5! = 5 4 3 2 1 = 120
阶乘在数学中之所以十分重要 ， 是因为它给出了排列方式的总数 。 假如你的书架上有12本书 ， 你能用多少种不同的顺序把他们排列在一起？答案是12！种 ， 也就是大约4.79亿种 。

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