自然数|这可能是世上最美丽的函数( 六 ) 定义|函数|方式|答案|对数|利昂

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这是一个绝妙的想法！

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假定w=a+bi ，w的辐角为θ ，且辐值为r ，也就是w=r*e(iθ) 。让我们以一种有趣的方式重新写一下上面的方程式

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很快我们将意识到这一公式里面有很多看起来非常漂亮的关系。
最后把它写成相应的实部和虚部的形式(使用举世闻名的欧拉恒等式) ，并考虑这两个公式都隐藏在符号里。

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这些公式具有难以置信的美。
注意他们是Gamma函数的推广，因为当w=1时，我们可以从余弦积分方程得到Gamma函数的定义。
接下来，我们将使用欧拉积分去求解Dirichlet积分。
Dirichlet积分的推广

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狄利克雷（Dirichlet）
这是一个有趣的问题。方程式如下：

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这也是一个非常著名的问题，并且有很多方法去求解它。比如拉普拉斯变换，双重积分，甚至费曼路径积分！
我们试着从欧拉公式来推导Dirichlet积分。事实上，我们将把这一问题推广到更为广泛的结果， Dirichlet积分只是一个特殊的结果。为了实现这一目的，我们先使用欧拉对称公式去重写sin函数的左边。然而，在我们回顾微积分之前，我们可以用洛必达法则来证明

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我们对欧拉正弦积分公式的左边做一点变换，

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根据上面的计算，我们知道

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当-π<θ<π ,我们有

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因此，通过对右边取极限，我们得到：

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这是一个相当好的公式。

自然数|这可能是世上最美丽的函数( 六 )

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