自然数|这可能是世上最美丽的函数( 三 )
重要的是 ， 如果你想推广阶乘 ， Gamma函数在特定的数学意义上是一个十分自然的选择 。
Weierstrass积
Gamma函数的定义和形式数不胜数 。 一个尤其nice的是一种无穷乘积 。 在此之前 ， 我们试试从我们的定义中推出一些有趣的结果吧 。
我们要做的第一件事可能看起来有些奇怪 ， 但是在数学中 ， 有时候就是要运用直觉做出尝试 ， 然后看看逻辑把我们带向何方 。
我们讲对数函数写成极限的形式 ， 然后代入我们对Gamma函数的定义式中 。 首先 ， 回忆一下：
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这可以用多种方法证明 。 一个很显然的路子就是用洛必达法则求极限 。 但在这里 ， 我们用另一种方法 。 记得闭形式几何级数吗：
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这在|x|<1的情况下成立 。
注意 ， 若把x替换成-x ， 就得到：
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现在我们可以对两侧进行进一步操作：
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假设n>x ， 然后可以做代换z=x/n:
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现在 ， 如果我们取n趋向于无穷的极限 ， 显然有：
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以这个结果作为工具 ， 算出最终的结果就是一件十分直接的事情了：
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最一个简单的替换 ， 就得到了下面这个等价的形式：
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现在我们就可以在Γ(z)的定义中运用这个结果 。
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把极限符号右侧的积分记作I(n,z) 。
多次运用分部积分 ， 我们得到：
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继续这种模式 ， 最终消掉了1-t/n的指数项 ， 我们整合一下就得到：
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为了得到Γ(z) ， 取极限
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