合数表：对数表是怎样算出来的？ _对数

我读初二的时候，其中一本教材就是薄薄的《常用对数表》。当时很好奇，这个常用对数表是怎么算出来的。昨天看到李永乐对比3的361次方和10的81次方大小，又想起来这个初中时候的疑惑。网上搜到这个文章，觉得很有收获，转帖给大家。虽然不一定是当时人的算法，但是也可以开拓我们的思维。
回到十七世纪，让我来编算一本常用对数表
自十八、九岁学习了对数后，就觉得造对数表真不简单。据说十七世纪那时，说如果谁发现了对数表上有一个数字错，就奖一两黄金。
据百科百度：纳皮尔(1550～1617年),苏格兰数学家,对数的创始人。他的最大贡献是发明了对数。纳皮尔的杰作《奇妙的对数定律说明书》于1614年6月在爱丁堡出版。纳皮尔的朋友，英国人布里格斯，将纳皮尔创立的对数改为常用对数,它才得到广泛使用。并在1624年出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1—20000及90000—100000的14位常用对数表。
1671年，著名的德国数学家莱布尼兹（G.W.Leibnitz）制成了第一台能够进行加、减、乘、除四则运算的机械式计算机。
可见，布里格斯编算常用对数表时，机械式计算机还未发明，看来只能是手算了。
我那时不知道十七世纪是怎样编算对数表的。但我还是想自己亲手来编一份，那怕为数很少也可以，只想弄明白，对数表是怎样编算的。这一心愿几十年来一直没有了结。
想起二十世纪五六十年代，对数表不能离手，少了它就无法工作，真不胜感慨。当70年代用上了飞鱼牌手摇计算机后，就告别了六位对数表。当80年代用上了电子计算器后，又告别了八位函数表和手摇计算机。在电脑已普及的今天，我仍有用手算方法来造对数表的想法，这似乎有点可笑，但“怎样造原始的对数表”的问题，仍牵引着我的心，一直想了此一事。
想不到年老了，竟灵光一闪，得到了一个造表方法，并且可以分配到许多人，各自独立计算不同的数值范围，最后汇集于一起，成为一本对数表，这样就可以较快完成，不必化几年、乃至几十年时间了。
所谓常用对数，就是以10为底时，有方程10^D=Z 。如果知道一个数Z (叫真数) ，则10的指数就是D ， D就叫十进对数，也叫常用对数。给出Z ，求D 。并以D = Lg Z表示之。例如10^D=2 ，给出2 ，求D 。并以D = Lg2表示之。查对数表可得D = Lg2 =0.30103 ，即10^0.30103 = 2。亦即10的0.30103次方等于2 。
10的整数次乘方可以算，可是0.30103次方怎么算呢？真是无法理解。但如果说，因为0.30103=30103/100000 ，那末先算10的30103的次方，再开100000次方，倒是有道理的，但2的对数是0.30103 ，决不可能是这样算的，所以仍很玄。那么2的对数是0.30103 ，到底是怎样算出来的呢？
这么一想就有一个启发，就是10的零点几次方，可以这样算：先乘方、再开方，而主要是开方。例如10的开平方，就是10的0.5次方。10的开3方，就是10的0.33333次方等等。受此启发，经反复试算，得到编算常用对数表的步骤和方法：
＄1 先求最基础的对数
1 、我想，世界上第一个常用对数，可能就是3.16227766的对数0.5 。因为 3.16227766 = √10
【合数表：对数表是怎样算出来的？】= 10^（1/2）= 10^0.5 ，而0.5就是它的对数。10的开方，用笔算可以一次开出，也可以用逐步试算趋近。如先用3.16*3.16=9.9856 ，不够，再用3.163*3.163=10.004569 ，超过了一点，再用
3.16228*3.16228 =10.0000147984…最后定为3.16227766 。也就是说3.16227766的对数为0.500000 。
2、第二个，可能就是2.15443469的对数为0.333333了。因为2.15443469 = 3√10 =10^（1/3）
= 10^0.33333 ，而0.3333333就是它的对数。10的开3方比较麻烦，可以逐步试算趋近。如先用2.15*2.15*2.15 = 9.9384 ，不够，再用2.1544*2.1544*2.1544 = 9.99952 ，还不够，再试，最后定为2.15443469 。也就是说2.15443469的对数为0.333333 。
3 3.16227766的对数为0.500000 。2.15443469的对数为0.333333…这样的对数，我称它们为最基础的对数。最基础的对数需要多少个呢？这里仅算出8个，我想也许够了。即只要计算：
10的1/2次方，亦即10的开2次方。注意2是素数。
10的1/3次方，亦即10的开3次方。注意3是素数。
10的1/5次方，亦即10的开5次方。注意5是素数。
10的1/7次方，亦即10的开7次方。注意7是素数。
10的1/11次方，亦即10的开11次方。注意11是素数。
10的1/13次方，亦即10的开13次方。注意13是素数。
10的1/17次方，亦即10的开17次方。注意17是素数。
10的1/19次方，亦即10的开19次方。注意19是素数。
就可以得到相应的对数。用这些最基础对数，再去拓展其他的对数。计算这些最基础对数，只要用开方就可以了。开方虽然很烦，特别是开7次方以上时，要逐步、反覆连乘7次以上来校核改进，的确很烦，但毕竟是可以用手工算得出来的。我想，在十七世纪时，也只能这样硬算了。
4 、而10的开4次方， 10的开6次方， 10的开15次方…就不必了，因为它们可以根据上述最基础的对数，就能方便算出的，不必白费力气了。
由 10 的开 D 次方所得的《基础对数表》

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＄2 基础对数表扩充
有了上面的最基础的对数之后，就根据对数基本原理：真数相乘除，对数便加减的方法，可将最基础的对数扩充。例如：
1 (2√10)*(5√10) = 3.162277660*1.584893192=5.01187
相应之对数为：0.500000+0.200000=0.70000
2 (2√10)/(5√10) = 3.162277660/1.584893192=1.99526
相应之对数为：0.500000-0.200000=0.30000
3 这样，扩充后的对数，共96个，见下表：

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基础对数扩充表，由最基础的真数和对数，经真数乘除、对数加减而得。
当然，这个表很小，数量远远不够。但可以作基础，再通过多次交错乘除，得到更多的对数。但要想通过更多次交错乘除，得到全部对数，是不可能的，得另找出路。其实，只要设法先求出“素数的对数” ，那就一劳永逸地解决问题了。这张《基础对数扩充表》就为下一步求“素数的对数”作了准备。
＄3 求素数的对数（注：采用的二分法）
大家知道，合数是素数的乘积。所以，只要知道素数的对数，就可以用乘除、加减法，算出合数的对数。于是任何数的对数，都可以算出。那末，素数的对数怎样求呢？
分两步：
第一，选择数据（选两个基准点）。在《对数扩充表》内，选择尽量靠近所求素数的两个数。例如，要算2的对数，表中仅有真数1.99526与2.20220其中1.99526离2很近，选中。而2.20220离2还远，我们就不用它，另找。方法是：仍利用上面的对数扩充表，找到1.95393与1.03273 ，两个数相乘，得：
1.95393*1.03273=2.01788 ， (离2很近了) ，选中。其相应对数为：
0.29091+0.01399=0.30490。
这样，就取1.99526与2.01788两个数去内插，求2的对数。1.99526与2.01788这两个数，称做逼近值。
第二，内插法（二分法计算）。
真数对数
a= 1.99526 A=0.30000
b= 2.01788 B=0.30490 求 Z=2 的对数。
在很小区间内(所求值百分之一、二的误差) ，采用线性内插公式
Lg Z = A+(B-A)/(b-a)*(Z-a)
计算得Lg 2 = 0.30103
这个方法只用到乘，除、加、减，所以可用手算。为减少工作量，最好多采用乘法去找逼近值、内插。
以下是 Lg 2、Lg 3、 Lg 5、Lg 7 、Lg41、Lg 43的计算过程：

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数据准备中的真数和对数，来自《基础对数扩充表》

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＄5 分工合作、同心协力编常用对数表
最基础对数→对数扩充表→素数的对数→合数的对数，这样的四个步骤，使许多人同时作业成为可能。组织分工如下：
1、先由少数人计算最基础对数。要准，取位要多，如编八位对数表，最基础对数至少要取十位以上。
2、再由少数人，分工计算对数扩充表。最基础对数与对数扩充表便作为公用。
3、组织许多人，同时计算素数的对数。每人分担一段，如1—50 、50—100 、 101—200 、 201—400…在各自范围内，计算素数的对数。素数的对数也作为公用。
4、组织许多人，同时计算合数的对数。也是每人分担一段，既互用成果，又互不干涉。
5、每人每天的成果，汇总公布，以便下一步工作时互相利用，提高工效。
结语
假如把乘除比作一条汹涌的河，那末对数表就是一座平缓的桥。它使众多的实用计算者，较轻松的到达彼岸，极大的提高工作效率。但时隔三百年至于今天，那些造桥的人，乃至造桥的方法，己淹没在历史的巨卷之中，对数表也进入了历史博物馆。
我们纪念逝去的人，还要发愿：要发扬先辈追求真理、为全人类效力的精神，为科学的理性发展而学习、而奋斗！