人们是怎么发现π的呢？我们又是怎么知道π近似于3.14...的呢？《物理学家》杂志早在2018年8月24日发文称：很遗憾，π的使用时间比历史上的记载时间还要早，所以，这个问题没人能解答 。但是据历史记载，π在最开始使用时还不算太复杂，因此我们可以进行大胆猜测 。
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众所周知，π是圆的周长与直径之比 。一切与圆相关的内容都能和π扯上关系 。
测量任意一个圆的周长与直径，然后将两数相除，你就可以得到π了 。
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任意一个固定形状的直径都与其周长成正比，但这没什么特别的 。此定论适用于任意形状 。如果将任意图形扩大一倍，则其直径与周长都将扩大一倍，它们之间的比率仍保持不变 。
将一个正方形的周长除以其边长永远等于4 。
圆的周长与其直径的比例是一个定值，而人们认识到这一点却早于历史记载 。但该不完全等于三的数值还需不断精确 。要计算出这个具有无限不循环特点（以3.14159265358979323846264...开头）的数值还需要一点数学和时间 。
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约4000年前，古巴比伦石碑上记载π=3 。可这个数值看起来似乎不是那么准确 。
如果你将一根绳子一端固定住，另一端绑上鹅毛笔或木炭，那么你就可以画出一个近乎完美的圆 。如果用一根更长的绳子（至少得是之前那根绳子的2π倍）和一把尺子，你就可以测量出所画的圆的周长 。只要你仔细些，你就可以发现，很显然π≠3 。只要测量误差低于4%，你就可以看出其中的差距 。古巴比伦人编写了《汉谟拉比法典》，建造了许多令人惊叹的建筑，由此可见，他们有可能很早就有了以厘米为测量刻度的米尺 。事实证明，上述的石碑很可能就是一个记录了圆近似值大致区间的“备忘录” 。我们知道，古巴比伦人已经得出25/8=3.125，而这个近似值的误差在0.5%以内 。得出这个值对于青铜时代的人们来说，已经很了不起了 。
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只要你在做涉及圆的数学内容，π就会无时无刻不出现在你眼前，因此古代得人们有千千万万次机会发现π的存在，所以我们无法确定究竟是哪一次偶然机会使得人们真正发现了π（这一点正是比历史记录还早的研究发现的缺点） 。例如，有一个高为h，直径为d的桶的，容量为
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所有的证据都说明了尽管π充满了数学的神秘色彩，但其却是一个实实在在的数值 。这是一个你可以切实测量出来的数据 。但不论怎样，它都不等于三 。虽然圆越大，计算出来π的值越精确，但其用处会越来越小且枯燥，就好像连续吃一周的寿司自助餐一样，吃多了总会腻 。
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如果你将π精确到小数点后无穷位数，那么你就可以测算出圆的周长与其直径之比约为1：10N 。例如，已知π≈3.14，我们就可以将自行车轮胎安装到轮辋上1厘米以内得范围 。已知π≈3.1415，则可以计算出一英亩的圆形田地外所需的围栏长度 。当然，已知π≈3.1415926535，则可以不浪费一厘米电缆线而将电缆绕地球一周 。可以说，将π精确到小数点后10位是毫无意义的，但这并没有让数学家停下其严苛的演算 。一次也没有过 。
定义π不仅为我们提供了实际的测量方法，还提供了数以百计的数学方法，而这个过程就是数学的精巧所在 。像阿基米德和刘徽这样的数学家，以及与他们相距几千年的一些不知名的古埃及人，都曾使用切割法来得出π的近似值 。刘徽将π精确到小数点后四位数，这比他早约一千年的阿基米德得出的近似值还要精确些 。还真是奇怪了 。
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在罗马对锡拉丘兹的围攻中，马塞勒斯将军以为知识无国界遂下令活捉阿基米德 。遗憾的是，直到最后阿基米德也没将几何学原理传授给罗马人 。
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要么是阿基米德和历史学家失误了，要么是古希腊人比我们获知了更精确的π的近似值 。对于给定的圆，“内接正多边形”是指其各顶点接触圆（位于圆的内部），“外切正多边形”是指其各边相切于圆（位于圆的外部） 。阿基米德通过在圆内相接和圆外相切正九十六边形计算出圆的周长，以此获得π的近似值 。想要确定π的值，可以由内接正多边形得出一个下限，而由外切正多边形得出一个上限 。但问题就在于：阿基米德不仅找到了正九十六边形的周长，还发明了一种迭代算法可通过已给定n个角的图形周长来计算2n个边的图形的周长 。也就是说，他从正六边形（六个角）开始，然后引导至12角，24角，48角，令人费解的事，最后他推导出96角后就不再继续了 。很显然，他还有比计算出更多位数的π更重要的事要做 。讲道理，这并不是一个非常精确的数值 。但到此，他可能就宣称问题已得到解决了，因为任何人按照他的程序进行操作，都可以得到他们想要π的位数，然后继续投入热射线或类似的事物研究中去（说真的，当时的有钱人们甚至想制造太阳热射线来保卫锡拉库扎） 。
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每当人们运用阿基米德的迭代算法时，得出的π得近似值精确度都会提高约4倍（其收敛速率为1/4） 。可事实上这并没有听起来那样令人振奋 。因为每5次迭代就会得出小数点后约3数字 。从六边形到96边形阿基米整整算了4次，最后将π精确到小数点后3位 。如果他再辛苦一点，重新计算该过程（例如再重复10次），那么他将会将π精确到小数点后9位数 。虽然这毫无用处，但觉得值得到处吹牛 。
与现代计算方法得出的精确值相比，这些先辈们得出的近似值，不再让人感到骄傲 。阿基米德运用技术线性收敛可得出π的精确值（每次使用该算法，得出的π的位数大致相同） 。直到我们发明了二次收敛算法后，事情的发展才真正进入正题，二次迭代算法使已知π位数的数量翻倍 。也就是说：如果你将π精确到十位数，那么在下一次迭代之后，你将得出π的二十位数 。当今最快的算法莫过于非常规地收敛 。（每一次计算将比前一步计算结果的精确九倍） 。
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π的定义为圆周长与圆直径之比，这使我们可以直接但不准确地对圆进行测量，抑或对其进行精确而但却毫无意义的计算 。π还有更抽象的属性（例如，它能无限不循环下去（事实确实如此）或其他任何具有可能性（也只是可能）的形式），但这些抽象属性需要的不只是直接粗暴的数字计算 。想得出这些更为抽象的属性，就要立足于π的定义而不是其数值多少，忽略哪怕一个数字，我们可能得出结果但也可能被轻易推翻 。在物质世界中数学的确很有用，但数学并不是“原本就生活在这里” 。虽然π具有物理意义，但是我们主要依据其数学特性来了解它 。
答案很简单：古代人非常聪明，如果能他们能长生不老的化，他们很可能会一直算下去，知道算出来为止 。而这就是阿基米德算法所蕴含的数学基础 。老实说，这其实不是阿基米德的计算方式 。所以很显然，古希腊数学家受到了错误理念的影响，即小词汇蕴含大玄机 。因此，即使再翻译过后，他们的译文仍然像希腊文那样难以理解 。
梅德斯先生的方法如下所示 。如果In是内接正多边形的周长，而Cn是外部n边的周长，则：
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你可以花费九牛二虎之力，再运用大量方程式计算来证明，随着图形边的数量增加，该图形周长将无线接近π（圆的周长），或者你可以直接画一幅画说“看……这是真的” 。
先用虚线画一个圆，其有内接和外切n角（蓝色）和2n角（红色）的正多边形 。正多边形每段的长度是总周长除以段数（因此，所有段均除以n） 。
如果将六个等边三角形粘在一起，则会得到一个正六边形，并带有一点三角，您会发现，如果您的圆的直径为1，则内接正六边形的周长为I6 = 3，而外切正六边形的周长为C6 =2√3≈3.46。
要算出正十二边形的周长，就将C6和I6插入迭代方程式：
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而这个周长都比迭代前的任何一个结果都更加接近于π，并且由于所有n的I_n <\ pi <C_n，因此我们可以找到π的范围越来越小 。以下是其运算原理：
在圆上画内接或外切的正多边形会形成某种对称性 。因此我们可以通过绘制一些三角形来快速地找出它们的各个角度 。
也就是算出内接正多边形的一条边或者外切正多边形的一角 。内接正多边形里面的边长可以由2n角地正多边形推导出 。红色阴影三角形都相似（因为它们都有相同的角度），蓝色三角形也都相似 。
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一个完整的圆为360°，因此正多变边形的每一边都跨度为360° / n度 。那么∠a就是这些角度的一半，因此∠a = 180 °/ n 。
因为三角形中内角之和为180°，所以两∠b之和与∠a互补（二∠b之和为90°），第三个角度为90°（以直径为斜边的圆内切三角形对角为90°） 。因此，∠b = 90°-180 °/ n 。
∠c和∠b互补，因此∠c =∠ a = 180° / n 。
∠c + ∠d = 180°，因此∠d = 180°-∠c = 180°-180° / n 。
三角形中的角度之和为180°，因此∠d + ∠e +∠ e = 180°，∠e = 90°-∠d / 2 = 90 °/ n 。
最后，∠b + ∠e +∠ f = 90°，所以∠f = 90°-∠b-∠e = 90° / n 。
由于∠f = ∠e，所以两个红色三角形角度相等：它们是“相似的三角形” 。类似地，由于∠c = ∠a，所以两个蓝色三角形角度相等并且也相似 。当两个三角形相似时，其边的比例相同 。
关于边长计算如下 。
利用蓝色三角形的相似点，我们可以推导出：
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当然，红色三角形计算过程如下：
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因此，我们从一个已知的几何形状和π的定义入手，找出一个计算方法，投入大量时间进行演算就可以求得一个无限趋近于π的数 。
乘法和长除法比较简单，可以手动计算 。对于古人来说，迭代算法中最难的部分是平方根以及制作计算所需的草稿纸 。幸运的是，古人也有一些技巧 。例如，如果要取S的平方根，只需假设一个x，然后计算
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，然后你就会得到一个比您最初的猜测x更接近
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的结果 。这种方法是古巴比伦人和阿基米德人所熟知的（实际上是“巴比伦方法”），通过二次收敛，几乎可以立马得到你所想要的任何（合理的）精度 。
所以重点就是，你可以通过运用理性思维，投入大量时间不断进行演算，最后找到你所需要的π位数 。
作者: The Physicist
FY: 加盐牛轧糖
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