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图4：这些是产生空间填充曲线的前五个步骤 。 在每一步 ， 曲线的面积为零 ， 但在极限情况下 ， 它填充了正方形 。 这条特殊的曲线是由大卫·希尔伯特（David Hilbert）引入的 。
这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明 ， 数学家需要证明维度是一个真实的概念 。 例如 ， 当n≠ m时 ， n维和m维欧几里得空间的某些基本性质是不同的 。 这个目标被称为“维度不变性”（invariance of dimension）问题 。
终于 ， 在1912年 ， 在康托尔的发现之后将近半个世纪 ， 在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后 ， 布劳威尔（L.E.J. Brouwer）使用自己创造的一些方法并取得了成功 。 从本质上讲 ， 他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中 ， 以及在不将物体分成许多部分（如康托尔所做的那样）、不允许物体与自身相交（如皮亚诺所做的那样）的情况下 ， 使用较低维度的物体填满较高维度的空间 。 此外 ， 大约在这个时候 ， 布劳威尔等人给出了各种严格的定义 ， 例如 ， 可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实 ， 帮助归纳地确定维数 。
尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上 ， 但它无助于增强我们对高维空间的直觉：对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途 。 正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写 ， “我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶 。 ”
例如 ， 假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中 ， 然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置 。 随着n增加 ， 中心球体的大小随之增加——它的半径为√n -1 。 但是 ， 令人震惊的是 ， 当n≥10时 ， 这个球体会伸出立方体的边 。
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图5：中心球体随着维度的增加而变大 ， 最终会突出到立方体外面 。
【立方体|几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅】
高维空间中令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题 ， 统称为“维数灾难”（curse of dimensionality） 。 许多统计方法所需的样本点数量随维度增加呈指数增长 。 此外 ， 随着维度增加 ， 点形成聚类的概率会降低 。 因此 ， 找到为高维数据降维的方法十分重要 。
3. 分形和非整数维度
维度的故事并没有因为布劳威尔而终结 。 仅仅几年之后 ， 费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了一个新的维度定义 ， 之后的数学发展证明该定义对现代数学至关重要 。
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