维度的概念乍一看似乎很直观 。 瞥一眼窗外 ， 我们可能会看到落在纤细的旗杆上体验零维空间的乌鸦 ， 被限制在一维电话线上的知更鸟 ， 在二维地面上自由移动的鸽子 ， 还有翱翔在三维空间的老鹰 。
但是对于数学家来说 ， 为维度的概念找到一个明确定义实则异常困难 。 我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较 ， 才得出目前对维度概念的严格理解 。
1. 超越三维
古人知道我们生活在三个维度中 。 亚里士多德[1]写道：“向一个方向延伸的是直线 ， 两个方向延伸的是平面 ， 三个方向延伸的是物体 。 除此之外就没有其他了 ， 这些就是所有的维度 。 ”
然而相比于其他人 ， 数学家更热衷于想象更多维度的思维训练：垂直于已知的三个维度的第四维度会是什么样子？
一种流行的方法：假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面 。 一个在平面上方的实心球对我们来说是看不见的 。 但是如果它坠落并接触到平面 ， 就会出现一个点 。 当它继续穿过平面时 ， 圆盘会不断变大 ， 直到达到其最大尺寸 ， 然后缩小并消失 。 正是通过这些横截面 ， 我们才能看到三维物体的形状 。
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图1：在平面上只能看到三维物体的横截面 。 | 来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
类似地 ， 在我们熟悉的三维宇宙中 ， 如果一个四维球穿过它 ， 这个四维球会以一个点的形式出现 ， 之后成为一个实心球 ， 最终达到完整半径的球 ， 然后半径减小并消失 。 这给了我们关于四维形状的感知 ， 但是对于这样的物体 ， 还有其他思考方式 。
例如 ， 让我们尝试通过构建超立方体来可视化立方体的四维等价物 。 如果我们从一个点开始 ， 可以在一个方向上拖动它以获得一条线段 。 之后 ， 当我们垂直于拖动方向移动线段时 ， 得到一个正方形 。 在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体 。 同样 ， 我们通过在第四个方向上拖动立方体来获得超立方体 。
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图2：通过将蓝色位置的图形拖动到紫色位置 ， 我们可以可视化各种维度的图形 ， 包括超立方体 。
或者 ， 就像我们可以将立方体的面展开为六个正方形一样 ， 我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体 ， 正如萨尔瓦多·达利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的画作《受难》(Crucifixion ， Corpus Hypercubus) 中所展示的那样 。
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