考虑维度的一种直观方式是 ， 如果我们将d维物体均匀地缩放或放大k倍 ， 它的大小会增加到kd倍 。 假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体放大3倍 ， 点的尺寸不变（30=1） ， 线段变成3倍（31=3） ， 正方形变成9倍 (32=9) ， 立方体变成27倍 (33=27) 。
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图6：当我们将d维对象放大k倍 ， 其尺寸会增加到 kd 倍 。
豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是 ， 物体可能具有非整数维度 。 几十年后 ， 当伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit B. Mandelbrot）问道：“不列颠的海岸有多长？”时 ， 结果证明非整数维度正是他所需要的 。 海岸线如此参差不齐 ， 以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短 ， 测量结果越大越精确 。 曼德尔布罗特认为 ， 豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法 ， 并在 1975 年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状 。
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图7：英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小 。
要了解非整数维度可能是什么样子 ， 让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线（Koch curve） 。 我们从线段开始 。 在每个阶段 ， 我们删除每个线段的中间三分之一 ， 并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它 ， 无限次地重复此过程以获得科赫曲线 。 仔细研究它 ， 你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分 。 因此 ， 如果我们将这条曲线缩放3倍 ， 我们将获得原始曲线的4个副本 。 这意味着其豪斯多夫维数d满足 3d=4 ， 因此 ， d=log3(4)≈1.26 。 科赫曲线并不像皮亚诺曲线那样完全充满空间 ， 所以它不是二维的 ， 但它也不是一条一维线 ， 而是1.26 维 。
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图8：科赫曲线包含四个与整条曲线相同但尺寸为其三分之一的部分 ， 因此其豪斯多夫维数不是整数 ， 而是 log3(4)≈1.26 维 。
4. 四维时空之外
最后 ， 有些读者可能会想 ， “时间不是第四维吗？” 事实上 ， 正如威尔斯1895年的小说《时间机器》（The Time Machine）中的发明者所说：“时间与空间的三个维度中的任何一个都没有区别 ， 只是我们的意识沿着它移动 。 ” 1919 年 ， 作为第四维的时间在公众的想象中爆发 ， 日食让科学家们证实了爱因斯坦的广义相对论和闵可夫斯基（Hermann Minkowski）的平坦四维时空的曲率 。 正如闵可夫斯基在1908年的一次演讲中所预言的那样 ， “此后独自的空间和独自的时间注定会消失在阴影中 ， 只有空间和时间的某种结合才能保持独立的现实 。 ”
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