矩阵的范数怎么计算 _范数

矩阵的范数怎么计算

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计算矩阵的范数公式：║A║1=max 。矩阵范数（matrixnorm）是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念，是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。
矩阵的范数怎么计算矩阵范数的计算如下：
计算矩阵的范数可以使用各种数值方法，例如幂迭代法、反幂迭代法、QR分解等等。在实际应用中，一般会根据问题的特点和数据的规模选择合适的计算方法。

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矩阵的范数是一种用于度量矩阵大小的方法，通常用于矩阵的估计、优化和求解问题。矩阵的范数有多种定义方式，常见的有1范数、2范数和无穷范数。
1范数是矩阵列向量绝对值之和的最大值，即 ||A||1 = \max_j \sum{i=1}^n |a_{ij}| 。
2范数是矩阵的特征值的平方和的平方根，即 ||A||2 = \sqrt{\lambda{\max}（A^TA）}，其中 lambda_{\max} 表示矩阵的最大特征值。

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矩阵a的范数怎么算矩阵的1范数：将矩阵沿列方向取绝对值求和，取最大值作为1范数。例如如下的矩阵，1范数求法如下：
对于实矩阵，矩阵A的2范数定义为：A的转置与A乘积的最大特征值开平方根。对于以上矩阵，直接调用函数可以求得2范数为16.8481，使用定义计算的过程，说明计算是正确的。
对于复矩阵，将转置替换为共轭转置，矩阵A的∞范数定义为先沿着行方向取绝对值之和，取最大值(与1范数类似) 。
扩展资料：
注意事项：
1、应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。
2、矩阵范数却不存在公认唯一的度量方式, 一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性。
3、如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
4、如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。
矩阵的二范数公式怎么算||a|| = √(a,a) = √a^Ta
其中 (a,a) 是a与a的内积,是a的各分量的平方之和
如a=（X1,X2,X3）,则||a||=√X1^2+X2^2+X3^3
些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根) 。
容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导(||E11+E22||F=2>1) 。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。
扩展资料谱半径和范数的关系是以下几个结论：
定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║ 。
因为任一特征对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx 。两边取范数并利用相容性即得结果。
定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e 。
定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k} 。
利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：
推论1：矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1 。
推论2：级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1 。
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