灵机一动第128期答案 _128期

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NO. 115
等分面积

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如图是长方形去掉一个正方形后得到的菜地，老农想用篱笆（直的）把它隔成面积相等的两部分，分别种上两种不同的蔬菜，请问有几种隔法？
问题分析解答
首先，我们可能最容易想到以下三种等分的方法。
1
补全正方形，连接长方形和正方形的中心。

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2
把图形分成两个长方形，连接两个长方形的中心。

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3
与2类似，把图形分成两个长方形，连接长方形的中心。

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以上等分方法基于以下事实：经过长（正）方形的直线将长（正）方形分成面积相等的两部分。
如果你觉得只有三种分法的话，那你就错了！真实的结论是：有无数种分法。
题友 @赵力给出了有无数种分法的理由：任意选一方向，用平行于该方向的直线从多边形的一侧垂直该方向扫过图形，必有一时刻分多边形为面积想等的两部分。
连接长方形的对角线的交点是长方形的中心，任意经过长方形中心的直线将长方形分成面积相等的两部分。对于本题中的不规则图形，是否也存在这样一个点，使得等分该面积的直线都经过这一点呢？题友 @风中伫提出了这个问题，并且给出了寻找该点的方法：大家都说了是无数种，也有人用直尺能做出至少三种分隔线，我只想说，这无数种方法都会通过唯一一个点，那个点叫重心。用前面所说那三种任意二种找到重心，剩下的就是过重心任意连线。
如下图，G点是用方法2，3作出的两条直线的交点，我们猜想过G点的任意一条直线将图形分成面积相等的两部分。但是经过几何画板实验，发现这个猜想并不成立。

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之前我们也出过一个等分面积的问题，最后得出的结论也是有无数种分法，点击查看：【灵机一动 | 题友解答】之平分八块
【问题扩展】有两位题友在此问题上提出了新的问题，值得思考！
@Orange：求所有等分面积的方法中“最短”篱笆长。
@Better Man：这道题目可能太过简单，或者在小学初中做过，大家都没有来答！
很明显，分割成两个矩形（有两种分割方式），连接两个小矩形的对角线交点（对称中心），就可以实现！
那么，提出问题：推广到空间呢？
堆起来两个长方体，取对称中心连接就可以实现。
再提出问题:如果是三个立方体呢？
连接三个的对称中心就可以实现。
n个立方体？
对称中心不一定能连成一个平面！
但是我们可以提问:n个立方体能用一个平面分割成等体积的的条件是什么？（跟对称中心在一个平面上有没有关系？）
六面体呢？或者是仿射标架？
答案是显然的。
圆柱呢？球体呢？所有有对称中心的立体图型呢？（射影变换）
各种形状嵌套呢？或者在内部，或者在外部？或者在更远的空间处！
最后可以提出更高维度上的问题？
（不太懂）
或者分割成不同等分！
题友解答精选
◎题友 @XiaV 的解答：
【灵机一动第128期答案】可将原图划分为两个矩形或者一个矩形一个正方形，分别作对角线，连接两个对角线的交点，即可确定一条等分直线
◎题友 @赵力的解答：
无穷多种，任意选一方向，用平行于该方向的直线从多边形的一侧垂直该方向扫过图形，必有一时刻分多边形为面积想等的两部分。
◎题友 @青雨临风的解答：
我认为这道题有无数种隔法，理由如图。