一维量子引力—解释4维时空中的自由粒子，揭示生命短暂的本质( 三 )

2025-12-31

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函数f通过函数?从N回调到M由以下复合函数定义：

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式18：函数f通过函数?的回调。

图7说明了通过映射?将f从N回调到M的过程。
引入标量场
现在让我们用(M, g)表示上面两个一维流形中的一个，即区间I，并让它是场“存在”的时空。我们还引入了另一个N维流形(N, G)。后者称为目标空间，是待研究对象的空间，即标量场。
现在考虑这两个流形之间的映射：

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我们引入N上的坐标，选择一个开放的局部表面U ? N，具有n个局部坐标：

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其中，对于每个t∈M, u中有一个x(t)。上面的n个对象x都是一个标量场。下图使这些定义更加清晰：

一维量子引力—解释4维时空中的自由粒子，揭示生命短暂的本质

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图9：度量g的流形M（两个可能的一维流形之一）到目标空间N（N维流形）的映射。对于U中的每一点，我们关联一个标量场x。

根据前面的讨论，我们确定局部坐标x?(t)为通过函数x回调到开放局部表面U内的坐标M。
广义相对论作用现在我们要写下我们理论的广义相对论作用。一般来说，广义相对论的作用是：

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式19：包括物质场的广义相对论作用。

在这个表达式中，有四个重要的量：

根号内的g是度规张量的行列式：

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R是里奇曲率标量，它描述了在每个点附近时空的几何形状（见下图）。

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图10：图显示了三个面。第一种是具有负局部曲率（R

Λ是宇宙常数，与真空的能量和暗能量的有关。时空的体积元素是符号：

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括号内的第三项是物质场的拉格朗日密度（稍后将更详细地讨论）。

当只有一维时，R消失了（曲线的固有曲率不存在）。R≡0这一事实的一个结果是，在一维空间中，引力是非动力学的。上述对于一维流形的作用比式19简单得多，可以写成：

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式20：一维流形的一般相对论作用。

括号内的第一项表示标量场，其中G是N上度规对M的回调。注意没有这一项：

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尽管如此，我们仍然可以建立一个量子引力理论，其中度规与物质场耦合。度规g的存在表明标量场与引力相互作用。在目标空间中选择洛伦兹度规：

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式21：四维闵可夫斯基度规张量。

作用S变成：

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式22：作用S与上面给出的闵可夫斯基度规G。

爱因斯坦场方程（EFE）可以从作用中推导出来。定义2Λ≡m^2，爱因斯坦场方程为：

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式23

这个方程可以用“共轭动量”表示：

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引号是提醒我们，xs是标量场，而不是位置坐标：

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式24：用共轭动量表示的“爱因斯坦场方程”。

遵循规范量子化的标准过程：

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式25：共轭动量由微分算子代替。

式24变成：

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式26：经过正则量子化过程的量子波函数的微分算符。

我们看到系统的量子波函数Ψ被与式24相关的微分算符湮没。如果我们重新参数化流形M或者等价地如果我们做一个一般的坐标变换：

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度规张量变换如下：

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现在，我们可以任意缩放度规。选择：

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