勒让德多项式的意义各种特殊函数多项式都可以用

我想从余弦公式的角度谈谈勒让德多项式。此处没有用到大一高数以上的知识！
此处没有用到大一高数以上的知识！
看到内文不要怕！
先引进一个生成函数的概念。
在大一的高数中我们学到，函数可以通过幂函数展开成幂级数。例如：
$勒让德多项式的意义$

那么，考虑一个数列 $勒让德多项式的意义$
，我们给他找来幂函数做挂衣架，把数列挂上去，就有 $勒让德多项式的意义$
。
如果 $勒让德多项式的意义$
，那么就把 $勒让德多项式的意义$
叫做数列 $勒让德多项式的意义$
的生成函数。例如 $勒让德多项式的意义$
就是数列 $勒让德多项式的意义$
的生成函数。
考虑这么一个物理情景：
一个有心二次力场（例如引力场，库仑力场）中，有两个粒子相互作用。一个粒子在 $勒让德多项式的意义$
，一个粒子在 $勒让德多项式的意义$
，出于一些对称性的考虑，我们采用球坐标，并固定其坐标原点在有心力场的原点 $勒让德多项式的意义$
（例如以原子核所在的点）。试求其相互作用的能量，并将其用两粒子的坐标 $勒让德多项式的意义$
以及两粒子与原点构成的夹角 $勒让德多项式的意义$
表示出来。
我们知道，二次有心力场的能量可写成
$勒让德多项式的意义$

（最后一个等号假设了 $勒让德多项式的意义$
，该条件在某些情况下自然满足，例如在自然单位制下求解两电子间势能时 $勒让德多项式的意义$
）
由高中所学的余弦定理，我们有
$勒让德多项式的意义$

提出 $勒让德多项式的意义$
，我们有
$勒让德多项式的意义$

令 $勒让德多项式的意义$
，则原式化为
$勒让德多项式的意义$

而Legendre多项式 $勒让德多项式的意义$
这个多项式数列是怎么定义的呢？通过生成函数的定义恰恰是这样的！
$勒让德多项式的意义$

借由该定义我们随即就可以写出：
$勒让德多项式的意义$

考虑到该生成函数定义的收敛域原因， $勒让德多项式的意义$
，因此我们提出 $勒让德多项式的意义$
时，提出的永远是距有心力中心点较远者对应的 $勒让德多项式的意义$

勒让德多项式的意义

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