单位阵的逆矩阵是什么 _矩阵

单位阵的逆矩阵是什么

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单位阵的逆矩阵是本身，设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B ，使得：AB=BA=E ，则称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1 ，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1 。除此以外全都为0 。
根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身，而且单位矩阵因此独特性在高等数学中也有广泛应用。
什么是逆矩阵?满足什么条件才有逆矩阵?设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B ，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。逆矩阵，或可逆是线性代数中最重要的内容。
1、下列命题等价：
1）A为n阶可逆矩阵
2）A是非奇异的。
3）A是满秩的。
4）A是行满秩的。
5）A是列满秩的。
6）方程组AX=0仅有零解
7）方程组AX=B仅有唯一解。
8）A的行向量组线性无关。
9）A的列向量组线性无关。
10）A的任何特征值均非零。
2、可逆的重要性体现在：
AB=C 表示B线性变换到 C ， B与C是等价矩阵。同秩，同可逆或不可逆。是以B的列向量与C的列向量为基构成的向量空间为相同的空间。
扩展资料
逆矩阵性质定理
可逆矩阵一定是方阵。
【单位阵的逆矩阵是什么】如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
A的逆矩阵的逆矩阵还是A 。记作（A-1）-1=A 。
可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O ， AB=AC（或BA=CA），则B=C 。
两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
什么是逆矩阵

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设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B ，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
性质定理：
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A 。记作（A-1）-1=A 。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O ， AB=AC（或BA=CA），则B=C 。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
扩展资料：
若|A|≠0 ，则矩阵A可逆，且

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其中， A*为矩阵A的伴随矩阵。
证明：
必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I。（其中I是单位矩阵）
两边取行列式， det（AA-1）=det（I）=1 。
由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1则det（A）≠0 ，（若等于0则上式等于0）
充分性：有伴随矩阵的定理，有

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（其中

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是的伴随矩阵。）
当det（A）≠0 ，等式同除以det（A），变成

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比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

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参考资料：
怎么逆矩阵解方程若n阶矩阵A可逆，方法如下图：
使用此方法的时，首先要判断矩阵A是否可逆，只需求行列式不等于0就可逆。
逆矩阵是设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B ，使得：AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。单位矩阵的逆矩阵是它本身：AB=BA=E ，则A=B-1；B=A-1 。
相关性质：A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵；零矩阵是不可逆的，即取不到B ，使OB=BO=E；如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的；单位矩阵E是可逆的，即E=E-1 。