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整式的乘除 整式

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整 式 的 乘 除
知识点归纳：
回顾：代数式
1、单项式的概念
由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式 。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数 。
次数如何判断？
如： bca 22? 的 系数为 2?，次数为 4，单独的一个非零数的次数是 0 。
单独的数字或字母也称单项式
2、多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式 。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数 。
次数如何判断？
二次项、一次项……判断根据？
如： 122 ??? xaba，项有 2a 、 ab2? 、 x、1，二次项为 2a 、 ab2?，一次项为 x，
常数项为 1，各项次数分别为 2，2，1，0，系数分别为 1，-2，1，1，叫二次四项式 。
3、整式：单项式和多项式统称整式 。
代数式分类总结
2
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式 。也不是单项式和多项式 。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：
如： 122 3223 ???? yxyyxx
按 x的升幂排列： 3223 221 xyxxyy ?????
按 x的降幂排列： 122 3223 ???? yxyyxx
5、同底数幂的乘法法则
什么是同底数幂？
3
同底数幂中的底数可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，但 和 不是
同底数幂 。
nmnm aaa ??? （ nm, 都是正整数）解释
结论：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加 。注意底数可以是多项式或单项式 。
如： 532 )()()( bababa ?????
1．填空：
（1）ma 叫做 a的 m次幂，其中 a叫幂的________，m叫幂的________；
（2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为 c，指数为 3，这个数为________；
（3）4)2(? 表示________，42? 表示________；
（4）根据乘方的意义，3a ＝________，
4a ＝________，因此43 aa ? ＝
)()()( ?
2．计算：
（1） ?? 64 aa （2） ?? 5bb
（3） ??? 32 mmm （4） ???? 953 cccc
（5） ??? pnm aaa （6） ??? 12mtt
（7） ??? qqn 1 （8） ?
?? ?? 112 pp nnn3．计算：
（1） ?? ? 23 bb （2） ?? ?3)( aa
（3） ??? ?32 )()( yy （4） ??? ?
43 )()( aa
（5） ?? ? 24 33 （6） ??? ?67 )5()5(
4
（7） ??? ?32 )()( qq n （8） ??? ?
24 )()( mm
（9） ?? 32 （10） ??? ?54 )2()2(
（11） ??? ?69 )( bb （12） ??? ? )()(
33 aa
4．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）523 632 ?? ； （2）
633 aaa ?? ；
（3）nnn yyy 22?? ； （4）
22 mmm ?? ；
（5）422 )()( aaa ???? ； （6）
1243 aaa ?? ；
（7）33 4)4( ?? ； （8）
632 7777 ??? ；
（9）32 nnn ?? ．
5．选择题：
（1）22 ?ma 可以写成（ ）．
A．12 ?ma B．
22 aa m ? C．22 aa m ? D． 12 ?? maa
（2）下列式子正确的是（ ）．
A． 4334 ?? B．
44 3)3( ?? C．44 33 ?? D．
34 43 ?
（3）下列计算正确的是（ ）．
A．44 aaa ?? B． 844 aaa ??
C．444 2aaa ?? D．
1644 aaa ??
6、幂的乘方法则
mnnm aa ?)( （ nm, 都是正整数）解释
5
结论：
幂的乘方，底数不变，指数相乘 。如： 1025 3)3( ??
幂的乘方法则可以逆用：即 mnnmmn aaa )()( ??
如： 23326 )4()4(4 ?? 已知：2 3a ?，32 6b ?，求 3 102 a b? 的值；
7、积的乘方法则
nnn baab ?)( （ n是正整数）解释
结论：
积的乘方，等于各因数乘方的积 。
如：（ 523 )2 zyx? = 51015552535 32)()()2( zyxzyx ??????
8、同底数幂的除法法则
nmnm aaa ??? （ nma ,,0? 都是正整数，且 )nm ? 解释
结论：
同底数幂相除，底数不变，指数相减 。如： 3334 )()()( baababab ???
1.
2 21( )3ab c?
=________,2 3( )na a? =_________.
2.5 23 7( ) ( )p q p q? ? ? ?? ? ?? ? ? ? =_________,
2 3( ) 4n n n na b? .
3.3 ( ) 2 14( )a a a? ? .
4.2 3 2 2 2(3 ) ( )a a a? ? =__________.
6
5.2 2 1( ) ( )n nx y xy ?? =__________.
6.
100 1001( ) ( 3)3
? ?=_________,
2 2004 2003{ [ ( 1) ] }? ? ? =_____.
7.若 2, 3n nx y? ? ,则 ( )
nxy =_______,2 3( )nx y =________.
8.若4 3128 8 2n? ? ,则 n=__________.
（二）、选择题
9.若 a为有理数,则3 2( )a 的值为( )
A.有理数 B.正数 C.零或负数 D.正数或零
10.若3 3( ) 0ab ? ,则 a与 b的关系是( )
A.异号 B.同号 C.都不为零 D.关系不确定
11.计算8 2 3 3 2( ) ( ) [( ) ]p p p? ? ? ? ? 的结果是( )
A.-20p B.
20p C.-18p D.
18p
12.4 4x y? = ( )
A.16xy
B. 4xy C.16x y?
D.2( )2 x y?
13.下列命题中,正确的有( )
①3 3( )m n m nx x? ? ?? ,②m为正奇数时,一定有等式 ( 4) 4
m m? ? ? 成立,
③等式 ( 2) 2m m? ? ,无论 m为何值时都不成立
④三个等式:2 3 6 3 2 6 2 3 6( ) , ( ) ,[ ( )]a a a a a a? ? ? ? ? ? ? 都不成立( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.已知│x│=1,│y│=12 ,则
20 3 3 2( )x x y? 的值等于( )
A.-
34 或-
54 B.
34 或
54 C.
34 D.-
54
7
15. 已知55 44 332 , 3 , 4a b c? ? ? ,则 a、b、c的大小关系是( )
A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a<b<c
16.计算6 20.25 ( 32)? ? 等于( )
A.-
14 B .
14 C.1 D.-1
（三）、解答题
17.计算
(1)4 2 2 4 2 2 3 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
(2)
3 1 2 3 1 21( ) (4 )4
n m na b a b? ? ? ?? ?;
(3)2 1 12 16 8 ( 4 ) 8m m m m? ?? ? ? ? ? (m为正整数).
18.已知10 5,10 6a b? ? ,求(1)
2 310 10a b? 的值;(2)2 310 a b? 的值
8
19.比较1002 与
753 的大小
20.已知3 33, 2m na b? ? ,求
2 3 3 2 4 2( ) ( )m n m n m na b a b a b? ? ? ? ? 的值
21.若 a=-3,b=25,则1999 1999a b? 的末位数是多少?
9、零指数和负指数
10 ?a
任何不等于零的数的零次方等于 1 。
pp
aa
1?? （ pa ,0? 是正整数）
一个不等于零的数的 p? 次方等于这个数的 p次方的倒数 。
如：81
)21(2 33 ???
9
10、科学记数法
如：0.00000721=7.21 610?? （第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）
11、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里
含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值 。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则 。
③一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式 。
如： ??? xyzyx 32 32
12、单项式乘以多项式
单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即 mcmbmacbam ????? )( ( cbam ,,, 都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同 。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号 。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项 。]
如： )(3)32(2 yxyyxx ???
10
13、多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的
的积相加 。
如： )6)(5(2)3)(23(1 ???? xxbaba 、、
14、平方差公式
22))(( bababa ????
注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项
互为相反数 。右边是相同项的平方减去相反项的平方 。
如：（a+b－1）（a－b+1）=。计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)
15、完全平方公式
222 2)( bababa ????
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式
中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的 2倍 。
注意：
abbaabbaba 2)(2)( 2222 ???????
abbaba 4)()( 22 ????
11
222 )()]([)( bababa ???????
222 )()]([)( bababa ???????
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的 2倍 。
如：⑴、试说明不论 x,y取何值，代数式 2 2 6 4 15x y x y? ? ? ? 的值总是正数 。
⑵、已知2( ) 16, 4,a b ab? ? ? 求
2 2
3a b?
与2( )a b? 的值.
16、三项式的完全平方公式
bcacabcbacba 222)( 2222 ????????
17、单项式的除法法则
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如： ? ? ? ?bamba 242 497 ??
18、多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加 。
即： cbamcmmbmmammcmbmam ???????????? )(
12
方法总结：①乘法与除法互为逆运算 。②被除式=除式×商式+余式
例如：已知一个多项式除以多项式 2 4 3a a? ? 所得的商式是 2 1a ?，余式是 2 8a ?，
求这个多项式 。
单项式与多项式的乘法复习题
1、若 ? ? ? ?21 2 1x x ax? ? ? 的展开式中 2x 项的系数为-2，则 a的值为。
2、若 ? ? ? ?2 1x kx? ? 化简后的结果中不含有 x的一次项，则 k的值为。
3、若M 、 N 分别是关于 x的 7次多项式与 5次多项式，则MN （ ） 。A. 一定是 12次多项式 B. 一定是 35次多项式C.一定是不高于 11次的多项式 D.无法确定
4、多项式 2 23 2x kn k? ? 能被 1x ? 整除，那么 k的值为。
5、若等式 ? ? ? ?2 35 5 7x mx x x? ? ? ? ? 成立，则m的值为。
6、已知 2 0a b? ?，求 ? ?3 32 4 8a ab a b b? ? ? ? 的值 。
7、已知 2 1 0m m? ? ?，求 3 22 2014m m? ? 的值 。
13
8、已知 2 2 1 0x x? ? ?，求 3 22 3 4 2x x x? ? ? 的值 。
9、已知 ? ? ? ? 2 24 6x ay x by x xy y? ? ? ? ?，求代数式 ? ?3 2a b ab? ? 的值 。
10、若 ? ? ? ?2 23 3x nx x x m? ? ? ? 的乘积中不含 2x 和 3x 项，求m和 n的值
怎样熟练运用公式：
（一）、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提，1如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相
乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平
方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下
正确运用公式．
（二）、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母 a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含
义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视 x+2y
为公式中的 a，3z 为 b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了 。
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（三）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式
特征，合理调整变化，使其满足公式特点．
常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3x+5y）（5y－3x）交换 3x 和 5y 的位置后即可用平方差公式计算
了．
2、符号变化 如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方
差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
3、数字变化 如 98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）
2后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化 如（4m+2n ）（2m－
4n ）变为 2（2m+
4n ）（2m－
4n ）后即可用平方差公
式进行计算了．
5、项数变化 如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后
再适当分组就可以用乘法公式来解了．
（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如
计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后
再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）
运用．如计算（1－ 221 ）（1－ 23
1 ）（1－ 241 ）…（1－ 29
1 ）（1－ 2101 ），若分别算出各因式的
值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆
【整式的乘除 整式】用平方差公式，则可巧解本题．

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