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Stan是一种用于指定统计模型的概率编程语言 。 Stan通过马尔可夫链蒙特卡罗方法（例如No-U-Turn采样器 ， 一种汉密尔顿蒙特卡洛采样的自适应形式）为连续变量模型提供了完整的贝叶斯推断 。
可以通过R使用rstan 包来调用Stan ， 也可以 通过Python使用 pystan 包 。 这两个接口都支持基于采样和基于优化的推断 ， 并带有诊断和后验分析 。
在本文中 ， 简要展示了Stan的主要特性 。 还显示了两个示例：第一个示例与简单的伯努利模型相关 ， 第二个示例与基于常微分方程的Lotka-Volterra模型有关 。
什么是Stan？

• Stan是命令式概率编程语言 。
• Stan程序定义了概率模型 。
• 它声明数据和（受约束的）参数变量 。
• 它定义了对数后验 。
• Stan推理：使模型拟合数据并做出预测 。
• 它可以使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）进行完整的贝叶斯推断 。
• 使用变分贝叶斯（VB）进行近似贝叶斯推断 。
• 最大似然估计（MLE）用于惩罚最大似然估计 。

Stan计算什么？

• 得出后验分布。
• MCMC采样 。
• 绘制 ， 其中每个绘制都按后验概率的边缘分布 。

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• 使用直方图 ， 核密度估计等进行绘图

安装 rstan 要在R中运行Stan ， 必须安装 rstan C ++编译器 。 在Windows上 ，Rtools 是必需的 。
最后 ， 安装 rstan：
install.packages(rstan)
Stan中的基本语法 定义模型 Stan模型由六个程序块定义 ：

• 数据（必填） 。
• 转换后的数据 。
• 参数（必填） 。
• 转换后的参数 。
• 模型（必填） 。
• 生成的数量 。

数据块读出的外部信息 。

1. data {
2. int N;
3. int x[N];
4. int offset;
5. }

【模型|拓端tecdat|R语言RStan贝叶斯：重复试验模型和种群竞争模型Lotka Volterra】变换后的数据 块允许数据的预处理 。

1. transformed data {
2. int y[N];
3. for (n in 1:N)
4. y[n] = x[n] - offset;
5. }

参数 块定义了采样的空间 。

1. parameters {
2. real<lower=0> lambda1;
3. real<lower=0> lambda2;
4. }

变换参数 块定义计算后验之前的参数处理 。

1. transformed parameters {
2. real<lower=0> lambda;
3. lambda = lambda1 + lambda2;
4. }

在 模型 块中 ， 我们定义后验分布 。

1. model {
2. y ~ poisson(lambda);
3. lambda1 ~ cauchy(0, 2.5);
4. lambda2 ~ cauchy(0, 2.5);
5. }

最后 ，生成的数量 块允许进行后处理 。

1. generated quantities {
2. int x_predict;
3. x_predict = poisson_rng(lambda) + offset;
4. }

类型
Stan有两种原始数据类型 ，并且两者都是有界的 。

• int 是整数类型 。
• real 是浮点类型 。

1. int<lower=1> N;
3. real<upper=5> alpha;
4. real<lower=-1,upper=1> beta;
6. real gamma;
7. real<upper=gamma> zeta;

实数扩展到线性代数类型 。

1. vector[10] a; // 列向量
2. matrix[10, 1] b;
4. row_vector[10] c; // 行向量
5. matrix[1, 10] d;

整数 ， 实数 ， 向量和矩阵的数组均可用 。

1. real a[10];
3. vector[10] b;
5. matrix[10, 10] c;

Stan还实现了各种 约束 类型 。

1. simplex[5] theta; // sum(theta) = 1
3. ordered[5] o; // o[1] < ... < o[5]
4. positive_ordered[5] p;
6. corr_matrix[5] C; // 对称和
7. cov_matrix[5] Sigma; // 正定的

关于Stan的更多信息
所有典型的判断和循环语句也都可用 。

1. if/then/else
3. for (i in 1:I)
5. while (i < I)

有两种修改 后验的方法 。

1. y ~ normal(0, 1);
3. target += normal_lpdf(y | 0, 1);
5. # 新版本的Stan中已弃用：
6. increment_log_posterior(log_normal(y, 0, 1))

而且许多采样语句都是 矢量化的 。

1. parameters {
2. real mu[N];
3. real<lower=0> sigma[N];
4. }
6. model {
7. // for (n in 1:N)
8. // y[n] ~ normal(mu[n], sigma[n]);
10. y ~ normal(mu, sigma); // 向量化版本
11. }

贝叶斯方法
概率是 认知的 。 例如 ，约翰·斯图亚特·米尔 （John Stuart Mill）说：

事件的概率不是事件本身 ， 而是我们或其他人期望发生的情况的程度 。 每个事件本身都是确定的 ， 不是可能的；如果我们全部了解 ， 我们应该或者肯定地知道它会发生 ， 或者它不会 。

对我们来说 ， 概率表示对它发生的期望程度 。

概率可以量化不确定性 。
Stan的贝叶斯示例：重复试验模型
我们解决一个小例子 ， 其中的目标是给定从伯努利分布中抽取的随机样本 ， 以估计缺失参数的后验分布 （成功的机会） 。


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步骤1：问题定义
在此示例中 ， 我们将考虑以下结构：

• 数据：
• ， 试用次数 。

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• ， 即试验n的结果 （已知的建模数据） 。

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• 参数：

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• 先验分布

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• 概率

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• 后验分布

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步骤2：Stan
我们创建Stan程序 ， 我们将从R中调用它 。

2. data {
3. int<lower=0> N; // 试验次数
4. int<lower=0, upper=1> y[N]; // 试验成功
5. }
8. model {
9. theta ~ uniform(0, 1); // 先验
10. y ~ bernoulli(theta); // 似然
11. }

步骤3：数据
在这种情况下 ， 我们将使用示例随机模拟一个随机样本 ， 而不是使用给定的数据集 。

1. # 生成数据
3. y = rbinom(N, 1, 0.3)
4. y

## [1] 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
根据数据计算 MLE作为样本均值：
## [1] 0.25
步骤4：rstan使用贝叶斯后验估计
最后一步是使用R中的Stan获得我们的估算值 。

1. ##
2. ## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 1).
3. ## Chain 1:
4. ## Chain 1: Gradient evaluation took 7e-06 seconds
5. ## Chain 1: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.07 seconds.
6. ## Chain 1: Adjust your expectations accordingly!
7. ## Chain 1:
8. ## Chain 1:
9. ## Chain 1: Iteration: 1 / 5000 [ 0%] (Warmup)
10. ## Chain 1: Iteration: 500 / 5000 [ 10%] (Warmup)
11. ## Chain 1: Iteration: 1000 / 5000 [ 20%] (Warmup)
12. ## Chain 1: Iteration: 1500 / 5000 [ 30%] (Warmup)
13. ## Chain 1: Iteration: 2000 / 5000 [ 40%] (Warmup)
14. ## Chain 1: Iteration: 2500 / 5000 [ 50%] (Warmup)
15. ## Chain 1: Iteration: 2501 / 5000 [ 50%] (Sampling)
16. ## Chain 1: Iteration: 3000 / 5000 [ 60%] (Sampling)
17. ## Chain 1: Iteration: 3500 / 5000 [ 70%] (Sampling)
18. ## Chain 1: Iteration: 4000 / 5000 [ 80%] (Sampling)
19. ## Chain 1: Iteration: 4500 / 5000 [ 90%] (Sampling)
20. ## Chain 1: Iteration: 5000 / 5000 [100%] (Sampling)
21. ## Chain 1:
22. ## Chain 1: Elapsed Time: 0.012914 seconds (Warm-up)
23. ## Chain 1: 0.013376 seconds (Sampling)
24. ## Chain 1: 0.02629 seconds (Total)
25. ## Chain 1:
26. ...
27. ## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 4).
28. ## Chain 4:
29. ## Chain 4: Gradient evaluation took 3e-06 seconds
30. ## Chain 4: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.03 seconds.
31. ## Chain 4: Adjust your expectations accordingly!
32. ## Chain 4:
33. ## Chain 4:
34. ## Chain 4: Iteration: 1 / 5000 [ 0%] (Warmup)
35. ## Chain 4: Iteration: 500 / 5000 [ 10%] (Warmup)
36. ## Chain 4: Iteration: 1000 / 5000 [ 20%] (Warmup)
37. ## Chain 4: Iteration: 1500 / 5000 [ 30%] (Warmup)
38. ## Chain 4: Iteration: 2000 / 5000 [ 40%] (Warmup)
39. ## Chain 4: Iteration: 2500 / 5000 [ 50%] (Warmup)
40. ## Chain 4: Iteration: 2501 / 5000 [ 50%] (Sampling)
41. ## Chain 4: Iteration: 3000 / 5000 [ 60%] (Sampling)
42. ## Chain 4: Iteration: 3500 / 5000 [ 70%] (Sampling)
43. ## Chain 4: Iteration: 4000 / 5000 [ 80%] (Sampling)
44. ## Chain 4: Iteration: 4500 / 5000 [ 90%] (Sampling)
45. ## Chain 4: Iteration: 5000 / 5000 [100%] (Sampling)
46. ## Chain 4:
47. ## Chain 4: Elapsed Time: 0.012823 seconds (Warm-up)
48. ## Chain 4: 0.014169 seconds (Sampling)
49. ## Chain 4: 0.026992 seconds (Total)
50. ## Chain 4:
51. ## Inference for Stan model: 6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221.
52. ## 4 chains, each with iter=5000; warmup=2500; thin=1;
53. ## post-warmup draws per chain=2500, total post-warmup draws=10000.
54. ##
55. ## mean se_mean sd 10% 90% n_eff Rhat
56. ## theta 0.27 0.00 0.09 0.16 0.39 3821 1
57. ## lp__ -13.40 0.01 0.73 -14.25 -12.90 3998 1
58. ##
59. # 提取后验抽样
60. # 计算后均值（估计）
61. mean(theta_draws)

## [1] 0.2715866
# 计算后验区间

1. ## 10% 90%
2. ## 0.1569165 0.3934832
3. ggplot(theta_draws_df, aes(x=theta)) +
4. geom_histogram(bins=20, color="gray")

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RStan：MAP ， MLE
Stan的估算优化；两种观点：

• 最大后验估计(MAP) 。
• 最大似然估计（MLE） 。

optimizing(model, data=https://www.sohu.com/a/c("N", "y"))

1. ## $par
2. ## theta
3. ## 0.4
4. ##
5. ## $value
6. ## [1] -3.4
7. ##
8. ## $return_code
9. ## [1] 0

种群竞争模型 ---Lotka-Volterra模型

• 洛特卡（Lotka ， 1925）和沃尔泰拉（Volterra ， 1926）制定了参数化微分方程 ， 描述了食肉动物和猎物的竞争种群 。
• 完整的贝叶斯推断可用于估计未来（或过去）的种群数量 。
• Stan用于对统计模型进行编码并执行完整的贝叶斯推理 ， 以解决从噪声数据中推断参数的逆问题 。

在此示例中 ， 我们希望根据公司每年收集的毛皮数量 ， 将模型拟合到1900年至1920年之间各自种群的加拿大猫科食肉动物和野兔猎物 。
数学模型
我们表示U（t）和V（t）作为猎物和捕食者种群数量 分别 。 与它们相关的微分方程为：


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这里：

• α：猎物增长速度 。
• β：捕食引起的猎物减少速度 。
• γ：自然的捕食者减少速度 。
• δ：捕食者从捕食中增长速度 。

stan中的Lotka-Volterra

1. real[] dz_dt(data real t, // 时间
2. real[] z, // 系统状态
3. real[] theta, // 参数
4. data real[] x_r, // 数值数据
5. data int[] x_i) // 整数数据
6. {
7. real u = z[1]; // 提取状态
8. real v = z[2];

观察到已知变量：

• ：表示在时间 的物种数量

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必须推断未知变量）：

• 初始状态： ：k的初始物种数量 。

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• 后续状态：在时间t的物种数量k 。

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• 参量。

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假设误差是成比例的（而不是相加的）：


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等效：


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与


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建立模型 已知常数和观测数据的变量 。

1. data {
2. int<lower = 0> N; // 数量测量
3. real ts[N]; // 测量次数>0
4. real y0[2]; // 初始数量
5. real<lower=0> y[N,2]; // 后续数量
6. }

未知参数的变量 。

1. parameters {
2. real<lower=0> theta[4]; // alpha, beta, gamma, delta
3. real<lower=0> z0[2]; // 原始种群
4. real<lower=0> sigma[2]; // 预测误差
5. }

先验分布和概率 。

1. model {
2. // 先验
3. sigma ~ lognormal(0, 0.5);
4. theta[{1, 3}] ~ normal(1, 0.5);
6. // 似然（对数正态）
7. for (k in 1:2) {
8. y0[k] ~ lognormal(log(z0[k]), sigma[k]);

我们必须为预测的总体定义变量 ：

• 初始种群（z0） 。
• 初始时间（0.0） ， 时间（ts） 。
• 参数（theta） 。
• 最大迭代次数（1e3） 。

Lotka-Volterra参数估计
print(fit, c("theta", "sigma"), probs=c(0.1, 0.5, 0.9))
获得结果：

1. mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat
2. ## theta[1] 0.55 0 0.07 0.46 0.54 0.64 1168 1
3. ## theta[2] 0.03 0 0.00 0.02 0.03 0.03 1305 1
4. ## theta[3] 0.80 0 0.10 0.68 0.80 0.94 1117 1
5. ## theta[4] 0.02 0 0.00 0.02 0.02 0.03 1230 1
6. ## sigma[1] 0.29 0 0.05 0.23 0.28 0.36 2673 1
7. ## sigma[2] 0.29 0 0.06 0.23 0.29 0.37 2821 1

分析所得结果：

• Rhat接近1表示收敛；n_eff是有效样本大小 。
• 10％ ， 后验分位数；例如 。

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• 后验均值是贝叶斯点估计：α=0.55 。
• 后验平均估计的标准误为0 。
• α的后验标准偏差为0.07 。

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