原文链接：http://tecdat.cn/?p=20015
本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型 ， 特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型 。
均值模型 本节探讨条件均值模型 。
iid模型
我们从简单的iid模型开始 。 iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列：


文章图片

均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值


文章图片

和样本协方差矩阵


文章图片

我们从生成数据开始 ， 熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果（即完整性检查） 。 然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型 。
让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵：

1. # 生成综合收益数据
2. X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)
3. # 样本估计（样本均值和样本协方差矩阵）
4. mu_sm <- colMeans(X)
5. Sigma_scm <- cov(X)
6. # 误差
7. norm(mu_sm - mu, "2")
8. #> [1] 2.44
9. norm(Sigma_scm - Sigma, "F")
10. #> [1] 70.79

现在 ， 让我们针对不同数量的观测值T再做一次：

1. # 首先生成所有数据
3. X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)
4. # 现在遍历样本的子集
6. for (T_ in T_sweep) {
7. # 样本估算
8. mu_sm <- colMeans(X_)
9. Sigma_scm <- cov(X_)
10. # 计算误差
11. error_mu_vs_T <- c(error_mu_vs_T, norm(mu_sm - mu, "2"))
12. error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))
13. # 绘图
14. plot(T_sweep, error_mu_vs_T,
15. main = "mu估计误差",

文章图片

1. plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T
2. main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"

文章图片

单变量ARMA模型
对数收益率xt上的ARMA（p ， q）模型是


文章图片

其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列 。 模型的参数是系数?i ， θi和噪声方差σ2 。
请注意 ， ARIMA（p ， d ， q）模型是时间差分为d阶的ARMA（p ， q）模型 。 因此 ， 如果我们用xt代替对数价格 ， 那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA（p ， 1 ， q）模型 ， 因为一旦对数价格差分 ， 我们就获得对数收益 。
rugarch生成数据
我们将使用rugarch包 生成单变量ARMA数据 ， 估计参数并进行预测 。
首先 ， 我们需要定义模型：

1. # 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型
2. #>
3. #> *----------------------------------*
4. #> * ARFIMA Model Spec *
5. #> *----------------------------------*
6. #> Conditional Mean Dynamics
7. #> ------------------------------------
8. #> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
9. #> Include Mean : TRUE
10. #>
11. #> Conditional Distribution
12. #> ------------------------------------
13. #> Distribution : norm
14. #> Includes Skew : FALSE
15. #> Includes Shape : FALSE
16. #> Includes Lambda : FALSE
18. #> Level Fixed Include Estimate LB UB
19. #> mu 0.01 1 1 0 NA NA
20. #> ar1 -0.90 1 1 0 NA NA
21. #> ma 0.00 0 0 0 NA NA
22. #> arfima 0.00 0 0 0 NA NA
23. #> archm 0.00 0 0 0 NA NA
24. #> mxreg 0.00 0 0 0 NA NA
25. #> sigma 0.20 1 1 0 NA NA
26. #> alpha 0.00 0 0 0 NA NA
27. #> beta 0.00 0 0 0 NA NA
28. #> gamma 0.00 0 0 0 NA NA
29. #> eta1 0.00 0 0 0 NA NA
30. #> eta2 0.00 0 0 0 NA NA
31. #> delta 0.00 0 0 0 NA NA
32. #> lambda 0.00 0 0 0 NA NA
33. #> vxreg 0.00 0 0 0 NA NA
34. #> skew 0.00 0 0 0 NA NA
35. #> shape 0.00 0 0 0 NA NA
36. #> ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA
37. #> xi 0.00 0 0 0 NA NA
38. fixed.pars
39. #> $mu
40. #> [1] 0.01
41. #>
42. #> $ar1
43. #> [1] -0.9
44. #>
45. #> $sigma
46. #> [1] 0.2
48. true_params
49. #> mu ar1 sigma
50. #> 0.01 -0.90 0.20

然后 ， 我们可以生成时间序列：

2. # 模拟一条路径
4. apath(spec, n.sim = T)
6. # 转换为xts并绘图
7. plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"
8. plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的对数价格"

文章图片



文章图片

ARMA模型
现在 ， 我们可以估计参数（我们已经知道）：

1. # 指定AR（1）模型
2. arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
3. # 估计模型
5. #> mu ar1 sigma
6. #> 0.0083 -0.8887 0.1987
8. #> mu ar1 sigma
9. #> 0.01 -0.90 0.20

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：

1. # 循环
3. for (T_ in T_sweep) {
4. estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit))
5. error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)
8. # 绘图
9. matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T,
10. main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",

文章图片

1. matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
2. main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",

文章图片

首先 ， 真正的μ几乎为零 ， 因此相对误差可能显得不稳定 。 在T = 800个样本之后 ， 其他系数得到了很好的估计 。
ARMA预测
为了进行健全性检查 ， 我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果：

2. # 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型
3. spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE),
4. fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))
5. # 生成长度为1000的序列
6. arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim
7. # 使用 rugarch包指定和拟合模型
8. spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
10. # 使用包“ forecast”拟合模型
12. #> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean
13. #>
14. #> Coefficients:
15. #> ar1 mean
16. #> -0.8982 0.0036
17. #> s.e. 0.0139 0.0017
18. #>
19. #> sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6
20. #> AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47
21. # 比较模型系数
23. #> ar1 intercept sigma
24. #> -0.898181148 0.003574781 0.100222964
26. #> mu ar1 sigma
27. #> 0.003605805 -0.898750138 0.100199956

确实 ， 这两个软件包给出了相同的结果 。
ARMA模型选择
在先前的实验中 ， 我们假设我们知道ARMA模型的阶数 ， 即p = 1和q = 0 。 实际上 ， 阶数是未知的 ， 因此必须尝试不同的阶数组合 。 阶数越高 ， 拟合越好 ， 但这将不可避免地导致过度拟合 。 已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合 ， 例如AIC ， BIC ， SIC ， HQIC等 。

2. # 尝试不同的组合
4. # 查看排名
5. #> AR MA Mean ARFIMA BIC converged
6. #> 1 1 0 1 0 -0.38249098 1
7. #> 2 1 1 1 0 -0.37883157 1
8. #> 3 2 0 1 0 -0.37736340 1
9. #> 4 1 2 1 0 -0.37503980 1
10. #> 5 2 1 1 0 -0.37459177 1
11. #> 6 3 0 1 0 -0.37164609 1
12. #> 7 1 3 1 0 -0.37143480 1
13. #> 8 2 2 1 0 -0.37107841 1
14. #> 9 3 1 1 0 -0.36795491 1
15. #> 10 2 3 1 0 -0.36732669 1
16. #> 11 3 2 1 0 -0.36379209 1
17. #> 12 3 3 1 0 -0.36058264 1
18. #> 13 0 3 1 0 -0.11875575 1
19. #> 14 0 2 1 0 0.02957266 1
20. #> 15 0 1 1 0 0.39326050 1
21. #> 16 0 0 1 0 1.17294875 1
22. #选最好的
24. armaOrder
25. #> AR MA
26. #> 1 0

在这种情况下 ， 由于观察次数T = 1000足够大 ， 因此阶数被正确地检测到 。 相反 ， 如果尝试使用T = 200 ， 则检测到的阶数为p = 1 ， q = 3 。
ARMA预测
一旦估计了ARMA模型参数?i ^ i和θ^j ， 就可以使用该模型预测未来的值 。 例如 ， 根据过去的信息对xt的预测是


文章图片

并且预测误差将为xt-x ^ t = wt（假设参数已被估计） ， 其方差为σ2 。 软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：

1. # 估计模型（不包括样本外）
3. coef(arma_fit)
4. #> mu ar1 sigma
5. #> 0.007212069 -0.898745183 0.200400119
6. # 整个样本外的预测对数收益
7. forecast_log_returns <- xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)
8. # 恢复对数价格
9. prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)
11. # 对数收益图
12. plot(cbind("fitted" = fitted(arma_fit),
14. # 对数价格图
15. plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices,
17. main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")

文章图片



文章图片

多元VARMA模型
对数收益率xt上的VARMA（p ， q）模型是


文章图片

其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列 。 该模型的参数是矢量/矩阵系数?0 ， Φi ， Θj和噪声协方差矩阵Σw 。
比较
让我们首先加载S＆P500：

2. # 加载标普500数据
4. head(SP500_index_prices)
5. #> SP500
6. #> 2012-01-03 1277.06
7. #> 2012-01-04 1277.30
8. #> 2012-01-05 1281.06
9. #> 2012-01-06 1277.81
10. #> 2012-01-09 1280.70
11. #> 2012-01-10 1292.08
12. # 准备训练和测试数据
14. logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]
15. logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]
16. # 绘图
17. { plot(logreturns,
18. addEventLines(xts("训练"

文章图片

现在 ， 我们使用训练数据（即 ， 对于t = 1 ， … ， Ttrnt = 1 ， … ， Ttrn）来拟合不同的模型（请注意 ， 通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst） 。 特别是 ， 我们将考虑iid模型 ， AR模型 ， ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后将对方差建模进行更详细的研究） 。

2. # 拟合i.i.d.模型
4. coef(iid_fit)
5. #> mu sigma
6. #> 0.0005712982 0.0073516993
7. mean(logreturns_trn)
8. #> [1] 0.0005681388
9. sd(logreturns_trn)
10. #> [1] 0.007360208
11. # 拟合AR（1）模型
13. coef(ar_fit)
14. #> mu ar1 sigma
15. #> 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716
16. # 拟合ARMA（2,2）模型
18. coef(arma_fit)
19. #> mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma
20. #> 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570
21. # 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型
23. coef(arch_fit)
24. #> mu ar1 ma1 omega alpha1
25. #> 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02
26. #拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型
28. coef(long_arch_fit)
29. #> mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5
30. #> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02
31. #> alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10
32. #> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06
33. # 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型
35. coef(garch_fit)
36. #> mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1
37. #> 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01

我们使用不同的模型来预测对数收益率：

1. # 准备预测样本外周期的对数收益
3. # i.i.d.模型预测
4. forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
5. dates_out_of_sample)
6. # AR（1）模型进行预测
7. forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
8. dates_out_of_sample)
9. # ARMA（2,2）模型进行预测
10. forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
11. dates_out_of_sample)
12. # 使用ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型进行预测
13. forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
14. dates_out_of_sample)
15. # ARMA（0,0）+ARCH（10）模型预测
16. forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
17. dates_out_of_sample)
18. # ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型预测
19. forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
20. dates_out_of_sample)

我们可以计算不同模型的预测误差（样本内和样本外）：

2. print(error_var)
3. #> in-sample out-of-sample
4. #> iid 5.417266e-05 8.975710e-05
5. #> AR(1) 5.414645e-05 9.006139e-05
6. #> ARMA(2,2) 5.265204e-05 1.353213e-04
7. #> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.983266e-05
8. #> ARCH(10) 5.417266e-05 8.975710e-05
9. #> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 9.244012e-05

我们可以观察到 ， 随着模型复杂度的增加 ， 样本内误差趋于变小（由于拟合数据的自由度更高） ， 尽管差异可以忽略不计 。 重要的实际上是样本外误差：我们可以看到 ， 增加模型复杂度可能会得出较差的结果 。 就预测收益的误差而言 ， 似乎最简单的iid模型已经足够了 。
最后 ， 让我们展示一些样本外误差的图表：

2. plot(error,
3. main = "不同模型收益预测的样本外误差",

文章图片

请注意 ， 由于我们没有重新拟合模型 ， 因此随着时间的发展 ， 误差越大（对于ARCH建模尤其明显） 。
滚动窗口比较
让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念：

1. #ARMA（2,2）模型
2. spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))
3. # 静态拟合和预测
4. ar_static_fit <- fit(spec = spec, data = https://www.sohu.com/a/logreturns, out.sample = T_tst)
6. #滚动拟合和预测
7. modelroll <- aroll(spec = spec, data = https://www.sohu.com/a/logreturns, n.ahead = 1,
9. # 预测图
10. plot(cbind("static forecast" = ar_static_fore_logreturns,
11. main = "使用ARMA（2,2）模型进行预测", legend.loc = "topleft")
12. # 预测误差图
14. plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2,
15. main = "ARMA（2,2）模型的预测误差", legend.loc = "topleft")

文章图片



文章图片

我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响 。
现在 ， 我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测：

1. # 基于i.i.d.模型的滚动预测
2. roll(iid_spec, data = https://www.sohu.com/a/logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t
3. # AR（1）模型的滚动预测
4. roll(ar_spec, data = https://www.sohu.com/a/logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
5. # ARMA（2,2）模型的滚动预测
6. roll(arma_spec, data = https://www.sohu.com/a/logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
7. # ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型的滚动预测
8. roll(arch_spec, data = https://www.sohu.com/a/logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
9. refit.every = 50, refit.win
10. # ARMA（0,0）+ ARCH（10）模型的滚动预测
11. roll(long_arch_spec, data = https://www.sohu.com/a/logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
12. refit.every = 50,
13. # ARMA（1,1）+ GARCH（1,1）模型的滚动预测
14. roll(garch_spec, data = https://www.sohu.com/a/logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
15. refit.every = 50, refit.window

让我们看看滚动基准情况下的预测误差：

2. print(rolling_error_var)
3. #> in-sample out-of-sample
4. #> iid 5.417266e-05 8.974166e-05
5. #> AR(1) 5.414645e-05 9.038057e-05
6. #> ARMA(2,2) 5.265204e-05 8.924223e-05
7. #> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.991902e-05
8. #> ARCH(10) 5.417266e-05 8.976736e-05
9. #> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 8.895682e-05

和一些图表：

2. plot(error_logreturns,
3. main = "不同模型的滚动预测误差", legend.loc = "topleft"

文章图片

我们看到 ， 现在所有模型都拟合了时间序列 。 此外 ， 我们在模型之间没有发现任何显着差异 。
我们最终可以比较静态误差和滚动误差：

1. barplot(rbind(error_var[, "out-of-sample"], rolling_error_var[, "out-of-sample"])
2. col = c("darkblue", "darkgoldenrod"),
3. legend = c("静态预测", "滚动预测"),

文章图片

我们可以看到 ， 滚动预测在某些情况下是必须的 。 因此 ， 实际上 ， 我们需要定期进行滚动预测改进 。
方差模型 ARCH和GARCH模型
对数收益率残差wt的ARCH（m）模型为


文章图片

其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪声序列 ， 而条件方差σ2t建模为


文章图片

其中 ， m为模型阶数 ， ω> 0 ， αi≥0为参数 。
GARCH（m ， s）模型使用σ2t上的递归项扩展了ARCH模型：


文章图片

其中参数ω> 0 ， αi≥0 ， βj≥0需要满足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的稳定性 。
rugarch生成数据
首先 ， 我们需要定义模型：

1. # 指定具有给定系数和参数的GARCH模型
2. #>
3. #> *---------------------------------*
4. #> * GARCH Model Spec *
5. #> *---------------------------------*
6. #>
7. #> Conditional Variance Dynamics
8. #> ------------------------------------
9. #> GARCH Model : sGARCH(1,1)
10. #> Variance Targeting : FALSE
11. #>
12. #> Conditional Mean Dynamics
13. #> ------------------------------------
14. #> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
15. #> Include Mean : TRUE
16. #> GARCH-in-Mean : FALSE
17. #>
18. #> Conditional Distribution
19. #> ------------------------------------
20. #> Distribution : norm
21. #> Includes Skew : FALSE
22. #> Includes Shape : FALSE
23. #> Includes Lambda : FALSE
24. #> Level Fixed Include Estimate LB UB
25. #> mu 0.005 1 1 0 NA NA
26. #> ar1 -0.900 1 1 0 NA NA
27. #> ma 0.000 0 0 0 NA NA
28. #> arfima 0.000 0 0 0 NA NA
29. #> archm 0.000 0 0 0 NA NA
30. #> mxreg 0.000 0 0 0 NA NA
31. #> omega 0.001 1 1 0 NA NA
32. #> alpha1 0.300 1 1 0 NA NA
33. #> beta1 0.650 1 1 0 NA NA
34. #> gamma 0.000 0 0 0 NA NA
35. #> eta1 0.000 0 0 0 NA NA
36. #> eta2 0.000 0 0 0 NA NA
37. #> delta 0.000 0 0 0 NA NA
38. #> lambda 0.000 0 0 0 NA NA
39. #> vxreg 0.000 0 0 0 NA NA
40. #> skew 0.000 0 0 0 NA NA
41. #> shape 0.000 0 0 0 NA NA
42. #> ghlambda 0.000 0 0 0 NA NA
43. #> xi 0.000 0 0 0 NA NA
44. #> $mu
45. #> [1] 0.005
46. #>
47. #> $ar1
48. #> [1] -0.9
49. #>
50. #> $omega
51. #> [1] 0.001
52. #>
53. #> $alpha1
54. #> [1] 0.3
55. #>
56. #> $beta1
57. #> [1] 0.65
58. true_params
59. #> mu ar1 omega alpha1 beta1
60. #> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650

然后 ， 我们可以生成收益率时间序列：

1. # 模拟一条路径
3. hpath(garch_spec, n.sim = T)
5. #> num [1:2000, 1] 0.167 -0.217
6. # 绘图对数收益
8. { plot(synth_log_returns, main = "GARCH模型的对数收益", lwd = 1.5)
9. lines(synth_volatility

文章图片

GARCH
现在 ， 我们可以估计参数：

1. # 指定一个GARCH模型
2. ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)
3. # 估计模型
5. coef(garch_fit)
6. #> mu ar1 omega alpha1 beta1
7. #> 0.0036510100 -0.8902333595 0.0008811434 0.2810460728 0.6717486402
9. #> mu ar1 omega alpha1 beta1
10. #> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650
11. # 系数误差
13. #> mu ar1 omega alpha1 beta1
14. #> 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：

1. # 循环
3. for (T_ in T_sweep) {
4. garch_fit
5. error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) - true_params)/true_params))
6. estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))
8. # 绘图
9. matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
10. main = "估计GARCH系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",

文章图片

真实的ω几乎为零 ， 因此误差非常不稳定 。 至于其他系数 ， 就像在ARMA情况下一样 ， μ的估计确实很差（相对误差超过50％） ， 而其他系数似乎在T = 800个样本后得到了很好的估计 。
GARCH结果比较
作为健全性检查 ， 我们现在将比较两个软件包 fGarch 和 rugarch的结果：

2. # 指定具有特定参数值的ARMA（0,0）-GARCH（1,1）作为数据生成过程
3. garch_spec
4. #生成长度为1000的数据
6. path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$
7. # 使用“ rugarch”包指定和拟合模型
9. rugarch_fit <- ugarchfit(spec = garch_spec, data = https://www.sohu.com/a/x)
10. # 使用包“ fGarch”拟合模型
11. garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = https://www.sohu.com/a/x, trace = FALSE)
12. # 比较模型系数
13. #> mu omega alpha1 beta1
14. #> 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595
15. #> mu omega alpha1 beta1
16. #> 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658
17. # 比较拟合的标准偏差
18. print(head(fGarch_fi
19. #> [1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994
20. print(head(rugar
21. #> [1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555

确实 ， 这两个软件包给出了相同的结果 。
使用rugarch包进行GARCH预测
一旦估计出GARCH模型的参数 ， 就可以使用该模型预测未来的值 。 例如 ， 基于过去的信息对条件方差的单步预测为


文章图片

给定ω^ /（1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j） 。 软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：

1. # 估计模型 ， 不包括样本外
4. garch_fit
5. coef(garch_fit)
6. #> mu ar1 omega alpha1 beta1
7. #> 0.0034964331 -0.8996287630 0.0006531088 0.3058756796 0.6815452241
8. # 预测整个样本的对数收益
10. garch_fore@forecast$sigmaFor[1, ]
11. # 对数收益图
12. plot(cbind("fitted" = fitted(garch_fit),
13. main = "合成对数收益预测", legend.loc = "topleft")

文章图片

1. #波动率对数收益图
2. plot(cbind("fitted volatility" = sigma(garch_fit),
3. main = "预测合成对数收益率的波动性", legend.loc = "topleft")

文章图片

不同方法
让我们首先加载S＆P500：

2. # 加载标准普尔500指数数据
4. head(SP500_index_prices)
5. #> SP500
6. #> 2008-01-02 1447.16
7. #> 2008-01-03 1447.16
8. #> 2008-01-04 1411.63
9. #> 2008-01-07 1416.18
10. #> 2008-01-08 1390.19
11. #> 2008-01-09 1409.13
12. # 准备训练和测试数据
14. x_trn <- x[1:T_trn]
15. x_tst <- x[-c(1:T_trn)]
16. # 绘图
17. { plot(x, main = "收益"
18. addEventLines(xts("训练", in

文章图片

常数
让我们从常数开始：

1. plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn)
2. main = "常数")

文章图片

移动平均值
现在 ， 让我们使用平方收益的移动平均值：


文章图片

2. plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn),
3. main = "基于简单滚动平方均值的包络线(时间段=20)

文章图片

EWMA
指数加权移动平均线（EWMA）：


文章图片

请注意 ， 这也可以建模为ETS（A ， N ， N）状态空间模型：


文章图片

2. plot(cbind(std_t, x_trn),
3. main = "基于平方EWMA的包络")

文章图片

乘法ETS
我们还可以尝试ETS模型的不同变体 。 例如 ， 具有状态空间模型的乘性噪声版本ETS（M ， N ， N）：


文章图片

2. plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3. main = "基于平方的ETS（M ， N ， N）的包络"

文章图片

ARCH
现在 ， 我们可以使用更复杂的ARCH建模：


文章图片

2. plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3. main = "基于ARCH(5)的包络")

文章图片

GARCH
我们可以将模型提升到GARCH：


文章图片

2. plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3. main = "基于GARCH（1,1）的包络")

文章图片

SV随机波动率
最后 ， 我们可以使用随机波动率建模：


文章图片

或者 ， 等效地 ，


文章图片

2. plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black"),
3. main = "基于随机波动率的包络分析")

文章图片

比较
现在 ， 我们可以比较每种方法在样本外期间的方差估计中的误差：

2. #> MA EWMA ETS(M,N,N) ARCH(5) GARCH(1,1) SV
3. #> 2.204965e-05 7.226188e-06 3.284057e-06 7.879039e-05 6.496545e-06 6.705059e-06
4. barplot(error_all, main = "样本外方差估计中的误差"

文章图片

滚动窗口比较
六种方法的滚动窗口比较：MA ， EWMA ， ETS（MNN） ， ARCH（5） ， GARCH（1,1）和SV 。

2. #滚动窗口
3. lookback <- 200
4. len_tst <- 40
5. for (i in seq(lookback, T-len_tst, by = len_tst)) {
7. # MA
8. var_t <- roll_meanr(x_trn^2, n = 20, fill = NA)
9. var_fore <- var(x_trn/sqrt(var_t), na.rm = TRUE) * tail(var_t, 1)
10. error_ma <- c(error_ma, abs(var_fore - var_tst))
12. # EWMA
14. error_ewma <- c(error_ewma, abs(var_fore - var_tst))
16. # ETS(M,N,N)
18. error_ets_mnn <- c(error_ets_mnn, abs(var_fore - var_tst))
20. # ARCH
22. error_arch <- c(error_arch, abs(var_fore - var_tst))
24. # GARCH
26. error_garch <- c(error_garch, abs(var_fore - var_tst))
28. # SV
30. error_sv <- c(error_sv, abs(var_fore - var_tst))
31. }
33. barplot(error_all, main = "方差估计误差",

文章图片

多元GARCH模型
出于说明目的 ， 我们将仅考虑恒定条件相关（CCC）和动态条件相关（DCC）模型 ， 因为它们是最受欢迎的模型 。 对数收益率残差wt建模为


文章图片

其中zt是具有零均值和恒定协方差矩阵II的iid白噪声序列 。 条件协方差矩阵Σt建模为


文章图片

其中Dt = Diag（σ1 ， t ， ... ， σN ， t）是标准化噪声向量C ， 协方差矩阵ηt=C-1wt（即 ， 它包含等于1的对角线元素） 。
基本上 ， 使用此模型 ， 对角矩阵Dt包含一组单变量GARCH模型 ， 然后矩阵C包含序列之间的一些相关性 。 该模型的主要缺点是矩阵C是恒定的 。 为了克服这个问题 ， DCC被提议为


文章图片

其中Ct包含等于1的对角元素 。 要强制等于1的对角元素 ， Engle将其建模为


文章图片

Qt具有任意对角线元素并遵循模型


文章图片

我们将生成数据 ， 估计参数和预测 。
从加载多元ETF数据开始：

• SPDR S＆P 500 ETF
• 20年以上国债ETF
• IEF：7-10年期国债ETF

2. # 下载数据
3. prices <- xts()
5. head(prices)
6. #> SPY TLT IEF
7. #> 2013-01-02 127.8779 99.85183 93.65224
8. #> 2013-01-03 127.5890 98.49886 93.17085
9. #> 2013-01-04 128.1493 98.88306 93.21463
10. #> 2013-01-07 127.7991 98.92480 93.26714
11. #> 2013-01-08 127.4314 99.57622 93.49468
12. #> 2013-01-09 127.7553 99.48438 93.54719
13. # 绘制三个对数价格序列
14. plot(log(prices)
15. main = "三个ETF的对数价格", legend.loc = "topleft")

文章图片

首先 ， 我们定义模型：

2. # 指定i.i.d.单变量时间序列模型
3. ugarch_spec
4. # 指定DCC模型
5. spec( multispec(replicate(spec, n = 3))

接下来 ， 我们拟合模型：

1. # 估计模型
3. #>
4. #> *---------------------------------*
5. #> * DCC GARCH Fit *
6. #> *---------------------------------*
7. #>
8. #> Distribution : mvnorm
9. #> Model : DCC(1,1)
10. #> No. Parameters : 44
11. #> [VAR GARCH DCC UncQ] : [30+9+2+3]
12. #> No. Series : 3
13. #> No. Obs. : 1007
14. #> Log-Likelihood : 12198.4
15. #> Av.Log-Likelihood : 12.11
16. #>
17. #> Optimal Parameters
18. #> -----------------------------------
19. #> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
20. #> [SPY].omega 0.000004 0.000000 11.71585 0.000000
21. #> [SPY].alpha1 0.050124 0.005307 9.44472 0.000000
22. #> [SPY].beta1 0.870051 0.011160 77.96041 0.000000
23. #> [TLT].omega 0.000001 0.000001 0.93156 0.351563
24. #> [TLT].alpha1 0.019716 0.010126 1.94707 0.051527
25. #> [TLT].beta1 0.963760 0.006434 149.79210 0.000000
26. #> [IEF].omega 0.000000 0.000001 0.46913 0.638979
27. #> [IEF].alpha1 0.031741 0.023152 1.37097 0.170385
28. #> [IEF].beta1 0.937777 0.016498 56.84336 0.000000
29. #> [Joint]dcca1 0.033573 0.014918 2.25044 0.024421
30. #> [Joint]dccb1 0.859787 0.079589 10.80278 0.000000
31. #>
32. #> Information Criteria
33. #> ---------------------
34. #>
35. #> Akaike -24.140
36. #> Bayes -23.925
37. #> Shibata -24.143
38. #> Hannan-Quinn -24.058
39. #>
40. #>
41. #> Elapsed time : 0.8804049

我们可以绘制时变相关性：

1. # 提取时变协方差和相关矩阵
2. dim(dcc_cor)
3. #> [1] 3 3 1007
4. #绘图
6. plot(corr_t
7. main = "时变相关", legend.loc = "left")

文章图片

我们看到两个收益ETF之间的相关性非常高且相当稳定 。 与SPY的相关性较小 ， 在小于0的区间波动 。
【模型|拓端tecdat|R语言多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,随机波动率SV模型金融时间序列】

文章图片

最受欢迎的见解
1.HAR-RV-J与递归神经网络（RNN）混合模型预测和交易大型股票指数的高频波动率
2.R语言中基于混合数据抽样(MIDAS)回归的HAR-RV模型预测GDP增长
3.波动率的实现：ARCH模型与HAR-RV模型
4.R语言ARMA-EGARCH模型、集成预测算法对SPX实际波动率进行预测
5.GARCH（1,1） ， MA以及历史模拟法的VaR比较
6.R语言多元COPULA GARCH 模型时间序列预测
7.R语言基于ARMA-GARCH过程的VAR拟合和预测
8.matlab预测ARMA-GARCH 条件均值和方差模型
9.R语言对S＆P500股票指数进行ARIMA + GARCH交易策略

推荐阅读

• 

  win7旗舰版支持多大内存 看完这些就清楚了
• 

  家暴轻微伤怎么处理
• 

  照片大小10k什么意思
• 

  如何制作简易版紫薯酥饼 紫薯酥饼应该怎么做
• 

  美国GPS为什么只要24颗卫星，北斗却要55颗？看完就知道了
• 

  金牛座男生最配星座 哪个星座和金牛座男生最配
• 

  床单有黑斑怎么办 如何解决床单有黑斑
• 

  蓬莱仙境在哪里
• 

  美好的生日祝福语
• 

  描写考场气氛的成语
• 

  酿魔芋豆腐制作方法 魔芋豆腐酿猪肉的做法步骤
• 

  市面上哪款手机能够算的上是“水桶机”？
• 

  老三线是什么意思
• 

  表示神的词语有哪些
• 

  带银子发黑是什么原因 银饰变黑的原因
• 

  2022陕西渭南澄城县四价九价约苗指南 陕西渭南澄城县最新消息
• 

  请问用于白酒发酵的小曲里面有什么成分啊？
• 

  用户_老陕拍视 迎十四运 西安高新区丈八街道开展志愿者活动
• 

  绝对忠诚的动物是什么 忠诚可靠的动物是什么
• 

  鲜玫瑰花酱怎么做

• 模型|2022前展望大模型的未来，周志华、唐杰、杨红霞这些大咖怎么看？
• 模型|经逆向工程，Transformer「翻译」成数学框架 | 25位学者撰文
• 化纤|JXK STUDIO 虎年肥猫 1/6仿真动物模型手办可爱摆件
• 模型|达摩院2022十大科技趋势发布：人工智能将催生科研新范式
• 模型|李彦宏:中国迎来AI黄金十年,集度汽车机器人明年亮相,智能交通10年内解决拥堵
• 模型|神经辐射场去掉「神经」，训练速度提升100多倍，3D效果质量不减
• 模型|英伟达：美团机器学习平台使用NVIDIA T4 GPU
• 错误|有了这个工具，不执行代码就可以找PyTorch模型错误
• the|美国大学模型预测：全美未来两月或激增1.4亿确诊
• Samsung|三星Galaxy S22系列模型照片出现 S Pen颜色确认