啥是分形( 二 )
分别是放大了26万倍/687亿倍之后的Mandelbrot集合图案（图中黑色部分是处于集合内的点，其他的颜色则是为了区分每个点对应的数列的发散速度）
Credit：Mathigon
在这一图像刚刚被发现的时候，人们还不能看清它的精细结构，有大量数学家对这一发现表示不屑，他们认为分形没有实际用途，甚至不应该属于数学这一门类。但是很快，随着电脑技术的兴起，分形被广泛运用到复杂图像的产生和处理上，其中包括大量电影里的星球表面，山川起伏和液体喷射的画面。
工程学上，我们很早就发现了它在天线设计领域的重要性，使用分形样式的天线，不仅可以大大缩小天线的体积，还可以保证更好的收发效果，也正是因为分形的这一应用，我们的手机才得以摆脱那些明显的天线，做成现在这种简约时尚的样式。到现在，几乎所有的复杂工程建模里都可以看到分形的身影了。
分形的维度既然是维度探索，那么我们就来谈谈分形和维度之间的巧妙联系吧。在上一篇维度探索中（维度探索：四维空间和更高维度），我们讨论了从0维到多维的世界，以及降维观察一个高维度物体的办法，但是提及的维度都是不小于0的整数维度，那么存不存在不是整数的维度呢？从数学的角度来说，答案是肯定的。
首先我们来看看一个有趣的图案，它的名字叫皮亚诺曲线（PeanoCurve），它是通过不断构造这种自相似的形状最终把正方形填满的一种曲线。
皮亚诺曲线的产生如果这样一条本该是一维的曲线却凭借分形特征填满了二维的形状，那它到底是一维还是二维呢？
为了解决类似这样的问题，我们需要了解一下分形维度，它的神奇之处在于，这种定义下的维度可以是分数，也可以是无理数。也就是说存在这样的分形，它的维度是log2(3)，或者是1.58。
想知道这是怎么做到的，我们要先玩一个找规律的游戏，以经典的谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）为例，来看看所谓分形维度是怎么确定的吧：
谢尔宾斯基三角形，不断在大三角的中心挖去小的倒三角得到1，我们找到一个长度为1的线段，再把它的尺寸缩小成原来的0.5倍，那么要2个新的线段才能组成原来的线段。
截图来自3blue1brown2，接着找到一个面积为1的正方形，把它的尺寸（边长）缩小成原来的0.5倍，那么要4个新的正方形才能组成原来的正方形。
截图来自3blue1brown3，同样找到一个体积为1的正方体，把它的尺寸（边长）缩小成原来的0.5倍，那么要8个新的正方体才能组成原来的正方体。
截图来自3blue1brown4，最后找到一个单位尺寸的谢尔宾斯基三角形，把它的尺寸（边长）缩小成原来的0.5倍，那么要3个新的三角形才能组成原来的三角形。
截图来自3blue1brown关注上面出现的这几组数字，我们就能解开分形维度的秘密：
对于普通的线段，缩放倍数是0.5时，新线段就是原来的0.5倍长，由于0.51=0.5，所以我们说线段是1维的；再看看正方形，缩放倍数是0.5的时候，新正方形是原来的0.25倍大，由于0.52=0.25，所以我们说正方形是2维的；同样，正方体缩放倍数是0.5，小正方体只有原来的八分之一即0.125，而0.53=0.125，代表正方体为3维。（Tips：缩放倍数也可以不是0.5，如果取其他的倍数，对计算结果没有影响。）
有兴趣的小伙伴可以自行检验，谢尔宾斯基三角形的维度计算结果是1.585维，或者说是之前提到过的log2(3)维（即log0.5(1/3)）。按照这样的定义，一个分形物体的维度就出现了无理数的情况，这是多么的神奇！
课后习题时间：对于下图这样一个分形（在矩形边上不断增加小矩形边得到的），它的分形维度又是多少呢？大家可以在留言里写下你的答案。
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