啥是分形
分形从入门到放弃：我们说“一花一世界，一树一菩提”，说的是以小见大，从细微之处洞察宏观的哲学思考，而“一即是全，全即是一”，是我能想到的对分形最传神的表达。无数自然景物中都存在这样一个特点，你越是仔细去看，放大观察，就能发现越多的细节，放大镜下的世界，不仅没有变得单调乏味，反而显现出和正常尺度下相似的复杂性。想一想，如果有这么一样东西，不管你怎么放大它，看到的都是相似图案的循环，在放大10000倍的一个角落里，居然出现了和整个物体相同的花纹，这是多么美妙的图案！实际上，这就是完美分形的概念。
螺旋纹路的西蓝花分形（Fractal）和物体的自相似性有很大联系。生活里面，我们发现许多自然生成的东西往往有极其复杂的细节，而且组成它们的微小部分就好像是整体的缩小版，它们在各个尺度上的复杂程度都很相似。蜿蜒的海岸线，发散的树枝，海螺的断面，这些都是自然生成的自相似图形，它们可能还不那么完美，但是一旦我们进入到理想世界，就可以构造出各种各样的完美分形。
数学里的分形数学里的分形可以说是从康托尔集（CantorSet）开始的。取一个线段，把它中间的1/3去掉得到两个分开的线段，再对剩下的两段进行相同的操作，得到4个线段，这样重复进行下去直到无穷，最后得到的图形集合就是康托尔集。
康托尔集的一部分Credit：Wikipedia这样我们就用一个看似简单的步骤得到了一个无限复杂的图形，而且它的每一个细节放大之后都和整体看起来一样，这不是很神奇很有趣的一件事吗！
类似地，我们来看看科克曲线（Kochsnowflake）的构造过程。从一个正三角形开始，在它的每个边上增加一个1/3大小的小三角，它就变成了一个六角星，接着在每个小三角的边上继续增加它的1/3大小的小三角，然后一直重复这个过程。
科克曲线的产生Credit：Mathigon【啥是分形】如果说康托尔集只是最平淡的分形作品，那么科克曲线终于让我们领略到了分形之美，总体看来它是一个雪花的形状，放大之后，你会发现它的细节就是本身形状的无数次复制，没有穷尽。聪明的你一定也发现了，这样一个图案会有非常奇怪的特性：它的周长是无限大，面积却不可能超过六角星的外接圆，它是一个无限复杂的封闭曲线，但绝不会和自己相交。
基于这些特性，著名数学家Mandelbrot联想到了一个困扰了人们很多年的问题：英国的海岸线究竟有多长？以此为题，他在科学杂志上发表了对这一问题的深入探讨，我们之所以测不准海岸线的长度，是因为海岸线就是一个天然的分形，你测量的尺子越精细，得到的长度就会越长，随着放大倍数的增大，海岸线呈现出来的细节也就越多。
最后我们来看一看这个以他的名字命名的Mandelbrot集合，这个集合在平面上绘制出来就是一个奇异的分型图案，它集非常简单的产生公式和无限复杂的图像为一体，是的，它就是这样的一个怪物，所以曾被人们誉为“上帝的指纹”。
Mandelbrot集合这一集合的产生是在一个二维平面内，具体来说是x轴是正常实数，y轴是对应复数的复平面。得到它的步骤是：
在平面内任取一点，例如（x,y）让c=x+y从a1=0开始循环计算这样一个式子：
如果这个式子构成的数列是发散的，即最后趋近于无穷，那么这个点（x,y）不在Mandelbrot集合之内；反之，如果这个数列是有边界的，那么这个点在集合之内。
验证每个点是否处于Mandelbrot集合之内的过程，以点（0.5,05i）为例，数列发散，该点不在集合内，也就是图中的蓝点。
Credit：Mathigon
如果根据这个规则，我们把平面内的所有的点都验证一遍，就会画出Mandelbrot集合这个图案，它本身的细节极其复杂，以至于放大了百亿倍之后还呈现出精细的图案，每一个细节又和整体极其相似。
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