编码为什么时间被编码在空间几何中？通过理论计算证明( 二 )

2026-01-22

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方程6：超曲面的外在曲率。

其中符号“|”表示曲面内部的内在空间度量的协变微分。

编码为什么时间被编码在空间几何中？通过理论计算证明

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图5：外部曲率。

里奇标量R可以用外在曲率K表示，它的轨迹是K。表示本征曲率：

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方程7：重命名本征曲率。

里奇标量可以写成：

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方程8：用外在曲率、它的轨迹和三个曲率表示的里奇标量。

则拉格朗日密度为：

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方程9：引力拉格朗日密度以三曲率、外在曲率及其轨迹表示。

拉格朗日密度不依赖于位移和位移的时间导数。

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方程10。

偏差和位移在任何时候都是零，因此不是动态变量，因此,我们有：

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方程11：哈密顿函数H的条件。

由H表达式可知：

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方程12：使用ADM变量的哈密顿量。

我们定义：

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方程13：方程12中第二个等式后对象的定义。

第一个方程中的张量G由：

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被称为惠勒-德维特度规。

最后，利用公式11，我们得到了一个有约束的哈密顿动力学系统的方程，它是对爱因斯坦场方程的重新表述，它描述了三个度量的演化：

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方程14：描述三度量演化的哈密顿动力学系统的约束方程。

20世纪最重要的物理学家之一保罗·狄拉克，以及美国理论物理学家约翰·惠勒都被哈密顿公式的简单性所折服，他质疑时空的状态。
狄拉克宣称：
这个结果让我开始怀疑四维物理条件到底有多基本。几十年前，人们似乎很肯定必须把整个物理学用四维形式表达出来。但现在看来，四维对称似乎并不是那么重要，因为人们一旦脱离了自然，对自然的描述有时就变得简单化了。
惠勒写道：
这里的动态物体不是时空，而是空间。空间的几何形态随时间而变化。但变化的是空间，三维空间。在粒子动力学中，动力学的对象不是x和t，而是只有x…答案很简单。爱因斯坦的几何学动力学处理的是几何学的动力学，是三维几何，而不是四维几何。

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图6：保罗·狄拉克和约翰·惠勒。

利用几何动力学和方程9得到的作用，可以通过以下公式确定弯曲空空间演化的三几何时间演化：

初始表面的几何形状
初始曲面K的外曲率，描述了它在时空中的嵌入，将用爱因斯坦方程构造（见图3）。

但是，h和K不能单独指定。它们必须服从Foures和Lichnerowicz的初值方程。
拜尔林，夏普和惠勒程序现在我将描述BSW中的步骤。
步骤1
首先，选择两个非常相似（几乎完全相同）的三维指标:

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方程15：两个几乎相同的三维度量。

两个表面之间的时间间隔是有限的，为了方便起见，取δx?=1。

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图7：两个三维表面的说明。

步骤2
下一步是用尚未确定的四几何图形填充表面之间的区域。用坐标表示两点之间的距离：

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方程16：两个点的坐标，每个面上各一个点。

是由：

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方程17：式(16)中两点间的线元

这里η?是失效函。
步骤3
四几何图形是以下BSW作用的极值，并以两个三面的几何图形为边界条件，满足爱因斯坦场方程。
作用积分为：

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