编码为什么时间被编码在空间几何中？通过理论计算证明证明|拉格朗日|空间几何|方程

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在爱因斯坦广义相对论（他的引力理论）的原始公式中，基本场是度规张量g，这个理论在时空中是协变的。协方差由“物理定律在任意坐标变换下的形式的不变性”组成。这个想法是，由于坐标只是人造的标签，物理定律不应该取决于它们选择的方式。
在广义相对论中，这种运动（一个系统动力学的一个属性，从这个属性可以导出它的运动方程）被称为爱因斯坦-希尔伯特运动：

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方程1：爱因斯坦-希尔伯特作用

其中g = det（g），R（g）是标量曲率，这是一个测量曲线流形中小球的体积与欧几里得空间中小球体积的差别的方法，G是牛顿常数，Λ是宇宙常数或真空能。注意，如果时空是有界的，S应该包含一个边界积分。为了简单起见，让我们假设物质不存在。

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爱因斯坦和希尔伯特。

要求这个作用力相对于度规的变化为零，我们得到爱因斯坦的无源场方程：

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方程2：无物质条件下的爱因斯坦场方程。

R是里奇曲率张量。
用粒子力学作类比可能有助于阐明这些观点。在拉格朗日力学中，我们给出一个拉格朗日L，我们构造一个作用泛函S，通过对S求极值得到运动方程：

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方程3：给定一个拉格朗日L，对作用函数S求极值，得到运动方程。

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图1：质点选择使运动达到极值的路径。

本文的目的这篇文章的目的是说明时间编码在空间的几何形状中。这个程序遵循了拜尔莱因、夏普和惠勒在1962年发表的论文（我们称这篇论文为BSW）。用米斯纳、索恩和惠勒的著名著作《万有引力》中的话来说，“三维几何是关于时间的信息载体”。
发生这种情况的原因如下。将方程3中的拉格朗日方法推广到广义相对论，我们将得到：

具有内在几何结构的初始三维表面（下面方程4的第一项）。
第二个三维曲面也具有相关的内在几何（方程4的第二项）。

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方程4：上述两个三维曲面的本征几何和四维时空的几何。

目标是找到一个四维几何（方程4的第三项），满足爱因斯坦方程（方程2），并简化为三面σ和σ'上的三维几何。为此，他们发展了一种变分原理(所谓的“压缩薄夹层变分原理”)，它只依赖于两个三表面的内在性质。根据他们的程序，我们：

找出两个三维表面之间的时间间隔。
找出这些表面在时空中的位置。

在这样的四维时空中，每个三维几何都仅基于两个固有几何而被很好地指定。
在进一步讨论之前，对所谓的广义相对论ADM形式主义有一个概念是至关重要的。这将是下一节的主题。
ADM形式主义的鸟瞰图在ADM形式主义中，广义相对论被表述为一个动力学理论，以其作者Ricard Arnowitt, Stanley Deser和Charles Misner命名。