【关于虚数的5个有趣的事实 虚数i的运算公式大全】
虚数是一个抽象的概念，但是虚数对我们精确描述我们的宇宙是必不可少的 。它的存在让很多公式变得简洁而优美 。
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对于数学家来讲“世界上可能没有足够多的爱能拿来表达虚数的存在” 。很多时候，如果你想精确地描述你生活的这个宇宙，你需要跳出传统思维的束缚 。在20世界早期，物理学的两个重大突破——相对论和量子力学对数学的需求远远超过了实数的范畴 。从那以后，复数数学的发展开始在我们理解这个宇宙中发挥重要的作用 。
复数包含两个部分，实数部分和虚数部分 。当我们最开始接触数学的时候，我们基本上是按照下面的顺序逐件扩展的：
- 可数的数：1，2，3，4……等等 。这些数字是无限多的
- 整数：0，1，2，3……等等，跟可数的数相比，这里多了数字0
- 所有的整数：……，-3，-2，-1，0，1，2，3，…… 。这里我们又包含进去了负数
- 有理数：很多数可以表示成两个整数的除法形式 。因此有理数包含了所有的整数和所有有限重复的小数 。
- 实数：除了有限重复的小数之外还有无限重复小数，即无理数例如自然数e，圆周率π等 。有理数和无理数的和为无理数，而两个无理数的和则可能为有理数 。
我们回顾了虚数和复数的定义之后，我们就可以来看看关于虚数的5个有意思的事实了：
1、i开根号既有实数部分也有虚数部分
复数开方得到一个纯虚数，但是纯虚宿的开方却即有实数部分也有虚数部分 。下面我们看看证明的过程：
首先我们假设i的开方值可以表示成x+yi的形式：
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两边同时平方我们得到：
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我们把实数和虚数的部分对应起来：
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继续求解：
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因此我们可以得到：
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我们可以看到，实际上i的开方是有两个解的：
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这就让i有了下面一个有意思的性质
2、i的任何次开方都有多个结果，开N次方就有N个不同的解
对于正数而言，你最多可能只有两个解 。但是对虚数而言，解的个数可能跟开方的次数一样多了 。
例如：
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对i开3次方，4次方和5次方，分别可以得到3个，4个和5个解 。例如i开3次方可以得到：
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3、虚数分数中i位于分子位置还是位于分母位置对最后的结果影响很大
对实数除法-1/1和1/-1的结果是一样的，但是对虚数而言结果就不一样了，例如：
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它的值就为-i，而不是i
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在复数运算中i的结合顺序非常重要，如果运用不当可能导致错误的结果，例如：
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4、e，π和i三者可以统一在一起
坐标系可以是标准的由x轴和y轴描述的正交坐标系，也可以是半径r和角度θ描述的极坐标系 。如图：
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但是如果你用实数和虚数来代表x轴和y轴，那么你可以得到：
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上面的公式在角度为180度即-1的位置的时候我们可以得到一个非常优美的结果：
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这个公式就是有名的欧拉公式，它在很多复杂分析中都广泛应用 。
5、i^i或者i的i 次方，是100%的实数
对上面的欧拉公式我们考虑i的位置，即角度为90度：
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两边都计算i次方：
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我们得到：
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这个值大约为0.20788，是一个实数 。
虚数i代表的含义非常值得人们去深思，就像中国的太极哲学一样，实数和虚数虚虚实实转化演绎者我们生活的宇宙 。
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