今天这节课我们来看指数函数和对数函数 。
在教学中我发现有一些同学对这两个函数望而生畏 。但老师毫不夸张地说,这两个函数是整个高中阶段性质最简单、解法最常规的一种函数 。大家学完今天这堂课就不怵它了 。
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为什么说是一种函数?因为指数函数和对数函数从定义到性质都是对应的,完全可以放在一起理解 。
指数函数的解析式是y=a^x,如果把这个式子里的x和y互换一下,得到x=a^y,把y变换到等式左边,按照对数运算的定义,就变成了y=log(a)x.
不论对于指数函数还是对数函数,解析式中的参数a我们都有个规定的范围,就是a>0且a≠1.那么a就有两种情况,0<a<1或者a>1.
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下面先看一下指数函数y=a^x.它的定义域是全体实数,而值域是0到正无穷 。
从函数性质看,指数函数是非奇非偶函数,也没有对称性和周期性 。它最重要的性质就是单调性 。
a>1时在R上单调递增;0<a<1时单调递减 。【5分钟学懂指数函数和对数函数 log定义域的取值范围】 指数函数还有几个要点:
- 图像以x轴为渐近线,意思就是无限趋近于x轴但不越过;
- 不管a的具体值是多少,a既然不为0,a的零次方都是1,所以任何一个指数函数的图像都经过点(0, 1),另外还经过一个点(1, a),也比较常用到 。
注意,这里说的都是标准的指数函数,也就是符合解析式是y=a^x的函数,而不是经过图像变换(比如平移或伸缩)以后的指数函数的图像 。
再来看对数函数时就能对应上了 。首先对数函数的定义域、值域是和指数函数反过来的,对数函数y=log(a)x的定义域是0到正无穷,而值域是全体实数 。
对数函数的定义域是正实数集,按照我们一直强调的“定义域优先”的原则,这个要特别注意 。
单调性上,对数函数和指数函数是类似的,a>1时在定义域上单调递增;0<a<1时单调递减 。
对数函数图像以y轴为渐近线,意思就是无限趋近于y轴但不越过;对数函数的图像都经过点(1, 0)和点(a, 1).
对指数函数和对数函数而言,最重要的就是单调性了,a>1时在R上单调递增;0<a<1时单调递减 。我们常用函数单调性来比较指数或对数形式的数的大小 。
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