作者 | 李开周
来源 | 节选自《武侠数学》的序言 ， 李开周著 ， 化学工业出版社 。
就人类整体而言 ， 思想是不断进步的 ， 后人的认识通常会超越前人 ， 我们对零的认识也是如此 。20 世纪 70 年代或 80 年代开始读书的朋友必定都记得 ， 当时的数学课讲自然数 ， 都从 1 开始 ， 1 是最小的自然数 。现在的孩子上小学 ， 数学老师却会告诉他们 ， 最小的自然数是0 。短短几十年 ， 从“零不是自然数”到“零是最小的自然数” ， 人们的认识又有了一个飞跃 。
零是数字 ， 零是整数 ， 我们受过基础教育 ， 觉得这些认识都很自然 。零居然是自然数 ， 这个认识就显得不那么自然 。我们平常数数 ， 数某种事物有多少 ， 不都是从1 开始吗？没见过从0 开始数的 。如果哪位指着一堆苹果开始数：“0、1、2、3、4……”大概会有人觉得他不正常 。
1889 年 ， 意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano ， 1858 年—1932 年） 提出五条公理 ， 可用文字描述如下：
公理 1：1 是自然数；公理 2：每个确定的自然数 a ， 后面都有一个确定的相邻数 a′ ， a′也是自然数；公理 3：1 不是任何自然数后面的相邻数；公理 4：不同自然数拥有不同的相邻数；公理 5：任意关于自然数的命题 ， 如果能证明该命题对 1 为真 ， 并且它对自然数 a 为真时可证明它对 a′也为真 ， 那么这个命题就对所有自然数为真 。
这五条公理称为“皮亚诺公理” ， 其中第一条、第三条和第五条公理 ， 都不假思索地认定 1 是最小的自然数 。将皮亚诺公理运用于当时的数学体系 ， 严丝合缝 ， 堪称数学大厦的一块基石 。
皮亚诺为数学大厦提供基石的同时 ， 别的数学家也在为数学大厦添砖加瓦 。19 世纪末 ， 就在皮亚诺提出五条公理不久以后 ， 数学的一大分支“群论”发展到关键时期 ， 一些数学家用群论这把利器重新解剖整数和自然数 ， 发现了一个非常危险的破绽：如果不把零放进自然数群 ， 整数群就会变得不完整 。所以 ， 为了能让数学体系互不矛盾、自成逻辑 ， 为了保证整个数学大厦固若金汤、坚不可摧 ， 这些数学家就让零加入自然数家族 ， 成为最小的自然数 。
进入 20 世纪 ， 有的数学教材把零当成自然数 ， 有的数学教材坚持零不是自然数 ， 时间越往后 ， 认可零是自然数的教材就越多 。在欧美数学界 ， 主流意见都认为零是自然数 。所以在 1993 年 ， 中国国家技术监督局修订“量和单位”的国家标准 ， 规定零是自然数 。于是乎 ， 我们的数学教材随之修改 。于是乎 ， 00 后新生代在零的认识上与国际接轨 ， 70 后与 80 后家长被甩在后面 。于是乎 ， 爸爸妈妈们辅导小朋友数学作业时 ， 会有这样的对话：
“宝贝 ， 最小的自然数是 1 ， 你这道题写错了 。”
“没有错 ， 老师今天刚讲过 ， 零也是自然数！”
家长不信 ， 一查教材 ， 果然！大惑不解：“咦 ， 是不是印错了？”而看过本书的爸爸妈妈就不会有这样的困惑 。
在本章最后 ， 让我们再温习几点关于零的知识 。
- 最小的自然数是0 不是1；
- 最小的个位数是1 不是0；
- 0 不是正数 ， 也不是负数 ， 它是唯一的中性数；
- 0 是偶数；
- 0 不是质数 ， 也不是合数；
- 任何数加减0 ， 值不变；
- 任何数与0 相乘 ， 积为0；
- 任何不是0 的数的0 次方都是1；
- 0 不能作除数 ， 任何数除以0 ， 都没有数学意义；
- 0 是十进制位值数中唯一的占位符 ， 表示该数位为空；
- 0 可以表示起点 ， 例如直尺的起点刻度线都是0；
- 0 可以用于编号 ， 例如001、002……
- 0 可以表示界限 ， 例如0 度以上、0 度以下……
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