自由落体运动速度有极限吗,8000米自由落体最高终端速度 _速度

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自由落体运动，物体仅受重力的作用，沿着竖直线下落。
早在万历年间（1572-1620），伽利略就通过比萨斜塔实验，发现了自由落体定律。
1685年，牛顿在“自然哲学的数学原理”中，提出了牛顿三大定律。
根据牛顿第二定律，mg = ma，自由落体加速度 = 重力加速度g 。
（自由落体加速度表达的是惯性，重力加速度表达的是引力）
自由落体运动的速度 v = gt，位移 s = 1/2 gt^2.
如果下落的起点与终点之间的高度差为y的话，那么所需要的时间 t = (2y/g)^0.5 。
起点与终点在一条竖直线上，不需要微积分，只用简单的二次代数方程就可以算出来。
但是，如果起点和终点不在一条竖直线上，这个问题就会变得很复杂，甚至在1696年被伯努利拿来考验牛顿[呲牙]
这就是最速降线问题。
1，最速降线问题，

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最速降线问题
如图，不管在不在一条竖直线上，根据能量守恒定律，速度的值都是 v = (2gy)^0.5 。
速率与x坐标是没关系的，因为重力做功只和高度差有关，与路径无关。
只是不在一条竖直线上时，速度的方向是变化的。
但不在一条竖直线上时，曲线的切线方向也是变化的。
并且，速度的方向始终沿着曲线的切线方向，所以它依然是个均匀加速的问题。
只是这么稍微一偏之后，就得使用微积分了：
而且，就算使用了微积分之后，问题依然不好解决。
两点之间的直线只有一条，但两点之间的曲线有无数条。
到底哪一条曲线是最节省时间的？
2，反证法、微扰论，
首先，最节省时间的曲线一定是光滑的，不可能是波纹状的。
因为，在非常微小的间隔内，速度可以认为是近似不变的，而波纹状曲线比光滑曲线具有更大的弧长。
显然，ds = vdt，波纹状的ds更大，所以肯定更费时间。
所以，最速降线的一阶导数肯定是连续变化的，而且一阶导数不能有极值点，也就是说二阶导数不能有零点。
否则，就成了波纹线了：只要把它稍微取直，花费的时间就会减少。

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波纹线肯定不是最速降线
为了求出最速降线，我们假设已经求出了最速降线！
那么，只要曲线稍微有一点变动，时间就会增大。
这个方法就跟一元一次方程一样：要求某个未知数，就先设个未知数，假设它已经求出来了，然后让它直接参与运算[呲牙]
假设最速降线已经求出来了，任何微小的改变都会让时间增大，所以最速降线是时间的极小值：
可以把叫做y(x)的微小扰动，所以这种方法一般叫做微扰论，实际上就是反证法。
令那么在微扰之后就变成了
时间t的改变量是微扰前后L的差对dx的积分。
在获得最优解的情况下，时间t的改变量应该为0，这种方法叫做变分法。

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欧拉-拉格朗日方程的推导，左侧
如果只把L按照y和y'的一阶导数展开，计算结果就是大名鼎鼎的欧拉-拉格朗日方程。
上图的左侧，就是欧拉-拉格朗日方程的推导过程（之前发过）。
上图的右侧，是把最速降线的公式代进去之后的结果：
如下图，化简之后，获得最速降线的微分方程 2yy'' + y' ^2 + 1 = 0.

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微分方程的求解
解出来之后，获得x和y的参数方程，就是最速降线的解析式。
还可以进一步求出时间t的代数表达式来，如下图：

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时间t的表达式
从可得
3，极限推理，
当起点-终点所在的两条竖直线极为接近的情况下：
最速降线趋近于直线，角度参数趋近于0，
正弦函数约等于角度：
（当x趋向于0时，sinx / x趋向于1）
也可以从x的参数方程看出来：
所以
也就是说：
t = (2y/g)^0.5，
y = 1/2 gt^2.
这与自由落体运动的位移时间公式是一样的。
所以，自由落体运动是最速降线的极限情况。