欧拉公式推导 欧拉公式推导简述
欧拉公式推导如下 。
1、欧拉公式是e^ix=cosx+isinx , e是自然对数的底 , i是虚数单位 。它将三角函数的定义域扩大到复数 , 建立了三角函数和指数函数的关系 , 它在复变函数论里占有非常重要的地位 。
【欧拉公式推导 欧拉公式推导简述】2、e^ix=cosx+isinx的证明: 因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=??i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x , 得到: e^-ix=cosx-isinx , 然后采用两式相加减的方法得到: sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i) , cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式 。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到: e^iπ+1=0 。
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