著名的数学难题最速曲线最简单证明 _生活百科

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1696年6月，著名数学家约翰·伯努利（ Johann Bernoulli ）)在德国一份科学期刊《博学报》（Acta Eruditorum）上发表了以下问题：
在铅直平面上两点A，B之间要连一条曲线，使得不受摩擦的质点在重力的作用下沿这条曲线由A运动到B所需要的时间最少？

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图1：从A到B，三种可能的最优路径下图显示了约翰·伯努利和1696年6月用拉丁文在《博学报》上对该问题的表述。

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图2这一数学难题被称为捷线（最速落径）。尽管约翰·伯努利自己已经知道如何解决这个问题，但他还是挑战了欧洲的其他数学家，并给他们6个月的时间来解决这个问题。然而，在那之后，没有人给出任何答案。就连历史上最伟大的知识分子之一戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）也要求延迟最后期限。1697年1月29日下午，艾萨克·牛顿在他的邮件中（一封来自伯努利的信）发现了这个问题。然后，他在夜间解出了这个难题，并以匿名方式寄回了答案。
下面是牛顿手写的答案。这个故事让我们对牛顿的天赋有了一些了解，因为约翰·伯努利花了两周的时间才解出它。

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图3：牛顿手写的捷线问题解决方案。牛顿手写解的翻译是：
从给定点A出发，画一条平行于水平面的无界直线APCZ，在这条直线上描述任意摆线AQP，在Q点上与直线AB相交（并在必要时延伸），然后另一个摆线ADC的底和高[as AC: AP]应分别为前一个的底和高AB到AQ 。这条最近的摆线将穿过B点，成为一条曲线，在这条曲线上，一个重物在自身重量的作用下，最迅速地从A点到达B点。
要了解牛顿对上述解的详细过程，请私信我。
最速落径曲线最速落径曲线是一条位于二维平面上的曲线，有一个初始点A和一个终点B，仅受重力作用的一个质点从A点到B点时间最短的路径。
求曲线的问题有以下假设：
曲线上没有摩擦质点开始时是静止的引力场是常数是g

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图4：A和B之间的一条可能路径Γ现代解假设解是函数y=y(x)，为了方便起见，我们选择初始点A =(0,0) 。最后一个点定义为B = (a, b) 。由于质点最初处于静止状态，由能量守恒将得到：

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式1：能量守恒然后我们把dt写成：

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式2：用x和y表示的无穷小区间dt 。质点从A =(0,0)到B = (a, b)的总时间则为：

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式3：质点从(0,0)到(a,b)的总时间间隔T 。数学对象T依赖于函数y(x)，因此它被称为泛函（函数的函数）。泛函只依赖于（一个或多个）变量，而不依赖于完整的函数。
我们要解决的问题是找出函数y(x)使总时间t最小。为此，我们需要学习一个叫做变分法的数学。
变分法考虑一个函数ψ(x)，ψ满足以下条件，即ψ(x_0)=y_0和ψ(x_1)=y_1 。考虑第二个非常接近第一个的函数，把它写成: