初中数学:整式运算容易出错整式的概念

整式的乘法和因式分解问题是初中数学中的重要内容，也是后续学习方程、函数等内容的基础，我们将它们统称为整式问题.在苏科版教材中，将此两部分内容放在一个章节中进行教学，主要是考虑到整式乘法与因式分解是两种互逆变形，可以引导学生感悟到一个数学表达式，不仅要会顺向看，还要会逆向看.弄清这两种变形的互逆关系及各自的功能，才可以深刻理解两者的本质.
教学中发现学生在学习此内容时，常常会出现一些典型的错误.在此，笔者结合实例进行分析，并提出改进方法.
一、关于整式乘法的错误分析
1、多项、漏项
例1 计算:（2a-b）(a+2b-3).
错解
原式=2a2-ab+4ab-6a-ab-2b2+3b.
原因重复计算.
例2 计算:(x-y)(2x+y-3)
错解
原式=2x2+xy-3x-2xy+3y.
原因遗漏一项.
错因分析以上两种情况的出现，主要是因为在计算的过程中，没有注意运算顺序.学生在遇到较复杂的多项式乘多项式的运算时，有时会用第一个括号中的项与第二个括号中的每一项相乘;有时却又采取了用第一个括号中的每一项依次与第二个括号中的项相乘的顺序.两种顺序交叉出现，就有可能产生多项和漏项的情况.
因此，在教学时，应注意提醒学生，在一般情况下，进行多项式乘多项式的运算时，我们只能在以下两种顺序中任选一种进行运算:一是以第一个括号中的多项式为主，将第一个括号中的第一项分别与第二个括号中的每一项相乘，再将第一个括号中的第二项分别与第二个括号中的每一项相乘，以此类推.二是以第二个括号中的多项式为主，将第一个括号中的每一项与第二个括号中的第一项相乘，再将第一个括号中的每项与第二个括号中的第二项相乘，以此类推.这样，就不会出现重复相乘或是漏项的情况了.
2、符号错误

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原因在单项式乘多项式的运算过程中，搞错了所得项的正负性.
错因分析符号错误是运算类问题中最常见的错误之一无论是在有理数的运算中还是整式的运算中，学生常常会搞错结果项的正、负号，导致后续问题的错误.究其原因，负数的计算是学生在进入初中后才学习的内容，受小学学习习惯的迁移，学生在运算过程中更注重对数和字母的运算，而常常忽视符号的问题.
因此，在此部分教学时，应特别强调，在有理数及整式运算中，需先确定每一项的符号，再考虑数和字母部分.
3、公式用错

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原因用错公式.
错因分析学生在刚接触乘法公式时，常常会对公式理解不够透彻.在平方差公式中，分不清哪一项为正哪一项为负;而在完全平方公式中，主要出现的错误:一是首尾两项的系数没有平方，二是中间项没有乘以2 ，三是中间项的正负号弄错.
4、幂的运算错误

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原因混淆幂的运算法则.
错因分析幂的运算是整式乘法的基础.有些学生在学习幂的运算时没有将基础打实，导致在学习整式乘法时常常出错.
因此，教学中应先将幂的运算法则打牢基础，特别是要搞清楚幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等几种运算法则防止混淆.
二、关于因式分解的错误分析
1、概念错误

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原因概念不清，发生了因式分解的结果不是整式的积的情形.
错因分析学生在刚学因式分解这部分内容时，常常会混淆整式乘法和因式分解的概念，出现不按步骤逐步分析的情形.因此，教师在教学中应强调因式分解与整式乘法的区别与联系，使学生明确因式分解与整式乘法是两种互逆的运算，其中，因式分解是从一个多项式出发得到几个整式的积的运算过程.当学生对概念明确后，就不会出现这种混淆概念的情况了.
2、分解不彻底
例7因式分解:

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原因当第一步运用平方差公式后，忘了再检查每个括号中是否可继续进行因式分解，特别是提公因式这步，学生常常会疏漏.
错因分析学生在学习因式分解时，没有养成反思的习惯.因为他们之前学习过的计算(包括有理数计算和整式运算)都只需要按照步骤依次往下计算即可.但在进行多项式的因式分解时，常常要交叉运用各种方法，而且要时时检查每个括号中是否已经分解到底了.所以学生在初学因式分解时，常常会犯此类错误.
因此，从一开始教学因式分解时，就应强调“回顾与检查” ，让学生养成边检查边继续分解的习惯，防止出现虎头蛇尾，分解不彻底的情况.
3、公式用错型

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原因将完全平方差公式中的两种情况混淆.
错因分析学生在学习用公式法分解因式时，没有从本质上理解平方差公式和完全平方公式的区别:平方差公式适用于两项式，每一项都是平方项且符号相反，而完全平方公式适用于三项式，并且要满足有两项是平方项且符号相同，另外一项为两数积的两倍.只有明确了这两种公式的适用范围，才能根据情况选择合适的公式进行因式分解.
另外，老师在教学时也应对运用完全平方公式的两种情况加以区别，让学生明确何时为差的平方，何时为和的平方.
三、整式乘法和因式分解混合错误分析
例9化简:(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2
错解
原式=a2-b2+ab+2b2-b2=a2+ab=a(a+b).
原因最后一步将结果进行了因式分解，从而导致没有完全化简.
错因分析在学完了整式乘法和因式分解两部分内容后，学生常常会对这两种运算产生混淆.虽然分别运算时，学生明白整式乘法是从整式的四则运算出发，最后得到化简后的多项式;而因式分解是从多项式出发，最后得到整式的积的运算.这两种运算互为逆运算.而化简指的仅仅是整式乘法，而不包括因式分解.
通过对以上几种学生在整式乘法和因式分解中常见的错误进行分析，我们可以发现，学生主要在以下几个方面会产生错误:
一是概念不清，没有真正弄懂整式乘法和因式分解的本质含义.
二是运算顺序不明确，没有按照一般顺序进行运算.
三是基本公式没有掌握好，对于本部分内容中最常用的两种公式:平方差公式和完全平方公式的本质形式没有分清，搞懂.
最后是数学基础不扎实，已有知识掌握不牢固，导致后续知识学起来比较困难.
以上几个问题都需要在教学中特别引起重视.
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