化圆为方到底可能吗 根号2等于多少
痴老头狱中攻难题
在阴森森的监狱里 ， 坐着一个又干又瘦的老头儿 ， 他一言不发 ， 手里拿着一根木尺和一根绳子 ， 在潮湿的地上又是画直线 ， 又是画圆弧 ， 忙得不亦乐乎 。好奇的同伴围上去看热闹 ， 一打听 ， 才知道他叫亚拿撒哥拉斯 ， 是古希腊爱奥尼亚学派有名的大学者 。坐牢的事他只字不提 ， 却津津有味地大谈起他的研究：怎样用圆规和直尺画一个正方形 ， 使它和已知圆的面积相等 。听的人都禁不住好笑 ， 坐牢就老老实实地坐吧 ， 还要去胡折腾 。圆是曲线形 ， 怎么可能画出一个直线形与它面积相等呢？这不是自找罪受！
这些人的说法其实并不一定正确 ， 曲线形就一定化不成直线形吗？请看图1的抛物线 ， 它的方程是y＝-3x^2 +3 。这个抛物线和x轴围成一个曲线形（图中阴影部分） 。要作一个和它面积相等的正方形 ， 真是易如反掌 ， 只需要作一个边长为2的正方形（虚线所示）就成了 。
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图1
虽然如此 ， 老头儿的研究却始终没有成功 。老头儿后来不知所终 ， 但是他研究的这个问题却传了下来 ， 叫做 “化圆为方” ， 成为古代“几何三大难题”之一（另外两大难题是“三等分任意角” ， “立方倍积”） 。
古希腊学者希波克拉底（约公元前460-前377）对“化圆为方”问题非常感兴趣 ， 而且信心十足 ， 认为可以“手到擒拿” 。原来他发现了一个十分有趣的“月形定理” 。如图2, △ABC 是一个直角三角形 。分别以AC、CB、AB为直径向上方画半圆 。根据勾股定理可知：
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故容易证得半圆AC＋半圆CB＝半圆AB 。（因为圆面积与直径或半径的平方成正比） 。
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图2
同减去公共部分（没有阴影的部分） ， 就得到月牙形I+月牙形Ⅱ=△ABC 。如果AC=CB ， 则月牙形I=月牙形Ⅱ=(1/2)△ABC 。希波克拉底认为 ， 既然比圆形更复杂的月牙形很容易就化成了三角形 。那么 ， 圆形化成正方形不是就更加轻而易举了吗？可是 ， 他的如意算盘打错了 ， 到他死的时候也没有能够化圆为方 。
将近两千年的时间过去了 ， 无数学者“化圆为方”的种种企图都告失败 。到了文艺复兴时代 ， 出了一个大画家兼科学家达?芬奇（1452-1519) ， 他宣布能够化圆为方 ， 并且可以当众试验 。他拿来一个圆柱 ， 底面和已知圆相等 ， 高等于已知圆半径的1/2 。他把圆柱在平面上滚动一圈 ， 产生一个矩形（图3） 。达?芬奇像变魔术似地指着这个矩形说：“诸位 ， 它的面积就等于已知圆的面积！因为矩形的面积＝2πr?(r/2)= (πr)^2＝已知圆面积 。”马上就有人指出 ， 达?芬奇先生是在开玩笑——因为他的这个“作图法”大大违反了圆规直尺的严格限制 。不错 ， 达?芬奇毕竟是个艺术大师呀！
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图3
两千年的无数次失败 ， 使人产生了怀疑 ， “嫌疑犯”就是那个π 。π是个什么东西呀？它为什么老不肯就范？要弄清“化圆为方” ， 关键就是要摸清π的底细 。这又得回头去 ， 从两千多年前的一桩公案谈起 。
勇青年海上遭横祸
古希腊大数学家毕达哥拉斯早年云游各地 ， 后来在意大利的克洛吞定居 ， 并成立了一个半宗教半学术的团体 ， 自己担任领袖和数学教师 。团体的纪律森严 ， 谁要是违反了“教规” ， 可以处以极刑 。毕达哥拉斯认为 ， 世界上的万事万物都是由“数”构成的 ， 一切现象都可以归纳成为“整数”或“整数之比”（分数） ， “整数”和“分数”构成了美妙无比的宇宙 。这就是毕达哥拉斯认为天经地义的一套哲学 。比如毕氏的弟子们研究了乐音的音阶 ， 他们发现 ， 如果把“中音1”的弦长定为1 ， 则“高音i”的弦长就是1/2 ， 音阶与弦长有如下的妙不可言的分数关系：
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图4
他们甚至相信 ， 一切行星在它们的轨道上运行时也一定会发出一种来自天上的、整数比的乐音——天体音乐 。
谁知他们的狂热 ， 被一个人狠狠地泼了一瓢冷水 ， 这就是入会不久的希帕斯 。希帕斯是个勤奋好学的青年 ， 他善于独立思考 ， 不盲从附合 。他学了勾股定理以后发现 ， 如果正方形的边长为1 ， 那么对角线的长度既不能表示为整数 ， 也不能表示为分数 。这个前所未有的新数 ， 叫人很伤脑筋 ， 但它的确存在 。希帕斯的发现如象一声晴天霹雳 ， 动摇了毕达哥拉斯整个关于数的神秘主义的哲学基础 。毕氏大惊失色 ， 惶恐不安 ， 立刻下令封锁消息 。可是怎么封锁得住呢？一传十 ， 十传百 ， 早传开了 。毕氏十分恼火 ， 命令他的门徒捉拿希帕斯 。希帕斯并不屈服 ， 逃离了这个学会 。这群盲从的门徒 ， 紧追不舍 ， 结果在地中海的一只船上抓住了希帕斯 。希帕斯并不屈服 ， 逃离了这个学会 。这群盲从的门徒 ， 紧追不舍 ， 结果在地中海的一只船上抓住了希帕斯 。按照首脑的命令 ， 把希帕斯扔到了海里 。
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图5
希帕斯发现的新数就是无理数根号2 。无理数的发现 ， 是数学上的一次重大突破 。对数学作出如此重大贡献的希帕斯 ， 既没有得到“博士学位” ， 又没有领到“菲尔兹奖” ， 却得到如此下场 ， 真是数学史上的一大悲剧 。
希帕斯死后 ， 人们继续发现了许许多多的无理数 。这种数虽然“无理”（既除不尽又不循环） ， 人们还是终于承认了它的存在 。它给解方程带来了很大的方便 。
刘维尔的惊人发现
整数、分数合称有理数 ， 有理数和无理数有一个共同的性质 ， 它们都可以看作是整系数代数方程的根 。比如5/7就是方程7x-5=0的根 ， 2^(1/3)就是方程x^3-2= 0的根 ， 等等 。因此 ， 这类数 ， 我们叫它“代数数” 。
人们自然会提出这样的问题：有没有不是代数数的数呢？
法国数学家刘维尔（1809-1882）解答了这个问题 。他首先从理论上证明了确实有这种非代数数的数存在（这种数取名“超越数”） 。接着在1851年 ， 他找到了第一个超越数
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（小数点后第1、第2、第6、第24、第120位……处有一个1 ， 其余均为0 。）
为了纪念这一重大发现 ， 人们把这个数叫做“刘维尔数” 。不久 ， 法国数学家埃米特(1822-1901）证明了自然对数的底
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也是一个超越数 。
后来人们陆续发现 ， 对数值如log2 ， 三角函数值如sin1°等等都是超越数 。1900年 ， 希尔伯特（1862-1943）在著名的一次讲演中提出23个数学问题 ， 其中的第7个问题就是猜测象这种数是超越数 。后来在1934年 ， 苏联盖尔冯德和施奈德分别证明了这种数的超越性 。
特别使人感到惊奇的是：实数数轴上几乎全部的数都是这种超越数！这就是说 ， 和我们的预料恰恰相反 ， 所有的代数数不但不能够把数轴填满 ， 而且如果把超越数统统抽掉 ， 数轴上就只剩下稀稀拉拉的少得十分可怜的代数数了 。这真是有点叫人不敢相信 ， 但事实就是如此！
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图6
对于超越数的研究 ， 现在还非常不够 。至今数学家还弄不清楚 ， 任意两个超越数之和还是不是超越数呢！
林德曼扫兴收场
绕了这么大一个圈子 ， 现在书归正传 ， “化圆为方”的作图到底可不可能呢？
现在我们来研究一下圆的面积 。圆面积=πr^2 ， 所以关键问题就在π是一个什么样的数了 。
如果π是一个整数 ， 比如3 ， 那么化圆为方当然是易如反掌了 ， 可惜不是 。
如果π是一个分数 ， 比如22/7 ， 那么化圆为方也很容易解决了 ， 可惜也不是 。
如果π是一个无理数呢？那得看是什么样的无理数 。用解析几何容易证明 ， 凡是用圆规直尺能够作出的数都是：由表示单位长度的1 ， 经过有限次加、减、乘、除以及开平方所得的实数 。比如
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等等 ， 都能用圆规直尺作出 。而就不可能 。所以 ， 在十八世纪只是证明了π是一个无理数的时候 ， 并没有中止那些“化圆为方”的热心者的努力 ， 他们觉得仍然存在一线希望 。
1882年 ， 德国数学家林德曼(1852-1939）证明了π是一个超越数 ， 完全否定了“化圆为方”作图的可能性 ， 两千多年来的“公案”才算有了一个收场 。不过 ， 这个收场很令那些热衷于“化圆为方”问题的人扫兴 。其实 ， 两千多年来人们的劳动并没有白费 ， “化圆为方”虽然失败了 ， 但是人们在这个过程中逐渐认识了有理数、无理数、代数数、超越数 ， 建立了一个完整的实数系统 。它的意义远比“化圆为方”要大得多哩！
【化圆为方到底可能吗 根号2等于多少】由于林德曼的证明过于艰深 ， 一般人很难看懂 ， 因此不少存有侥幸心理的人 ， 仍然继续在那里徒劳无益地寻找“化圆为方”的答案 。以致有的科学研究机关三番五次发出声明 ， 拒绝接受审查这一类不可能问题的“论文” 。法国天文学家兼数学家阿拉哥 ， 称这种人叫做“害了聪明病”的人 ， 并且用十劣幽默的口吻写道：“所有国家的科学院 ， 在和追求解决方圆问题的人们作斗争中 ， 发现一个事实 ， 这个病症一般都在春天的时候加剧 。”
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