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弧长公式 扇形的面积公式

你要学的条件越少，难度越大，这个问题就越难 。不掌握方法很难解出答案 。这里有两个解决这个问题的方法，供大家参考 。
第一个解:托勒密定理托勒密定理是托勒密对伊巴谷著作中的相关知识进行改进而得到的 。我们先来看看托勒密定理的内容 。
托勒密定理:在圆的凸内接四边形中，这个四边形的两条对边的乘积之和恰好等于两条对角线的乘积 。
比如下图，四边形ABCD是圆O的凸内接四边形，那么AD BC+AB CD = AC BD 。
【弧长公式 扇形的面积公式】什么是凸四边形？简单来说，这个四边形就是任一边所在的直线的一边 。比如下图的四边形ABCD在有四条边的直线的一边，所以是凸四边形 。
知道托勒密定理有什么用？
我们先来看原问题中两个直角三角形组成的四边形 。很明显，这个四边形的对角是互补的 。根据圆不连通四边形的判定定理，对角互补四边形是圆的内接四边形 。从题目中的图也可以看出，这个四边形是凸四边形，所以可以直接用托勒密定理求解 。
如上图，为了表示方便，分解用字母标注，用AC连接，扇形半径为R，CD = X 。
在直角三角形ABD中，由勾股定理可得BE=5 。
根据托勒密定理，我们可以得到:
Ad BC+ab CD = AC BD，即:
3r+4x=5r，解为x=r/2① 。
在直角三角形BCD中，由勾股定理可得:BD ^ 2 = BC ^ 2+CD ^ 2，即:
25=r^2+x^2② 。联立方程① ②，解为r 2 = 20 。所以扇形面积是圆面积的四分之一，即20π/4=5π 。
第二种解决方法:形状填充法 。用托勒密定理解决这个问题很快，但是很多人不知道托勒密定理，那么没有托勒密定理怎么解决呢？
如下图，延伸AD和BC与e点之间的延长线，因为BC是扇形的半径，A点在扇形的圆弧上，角度BAD是直角，BE是扇形所在圆的直径 。这样就构造了一个大的直角三角形ABE 。
设扇形半径为r，则BE=2r，AE = 3+r .在直角三角形ABE中，由勾股定理:
Be 2 = AB 2+AE 2，代入数据:
(2r)2 = 4 ^ 2+(3+r)2，解为:r=2√5 。
所以扇形面积是π r 2 ÷ 4 = π× (2 √ 5) 2 ÷ 4 = 5π 。
奥赛的这道几何题还是挺难的，但是解题的方法不是唯一的 。即使你没有学过托勒密定理，也仍然可以用形状补的方法用勾股定理求解 。而求解补码的难点在于如何快速准确地做出辅助线 。做了辅助线后，求解难度降低了很多 。
这个问题到此为止 。

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