一个几何体从xyz三个方向上的投影都是圆形，那么这个几何体一定是球形吗？还有什么其他可能？
在基是正交向量时建立的坐标系 ， 它可能是一个球体 。设立体为AX^2+BXY+CY^2+DXZ+EYZ+FZ^2+GX+IY+JZ+K=0 ， 令X=r代入有CY^2+EYZ+FZ^2
+（I+Br)Y+（J+Dr）Z
+（Ar^2+Gr+K）=0 。因它的边界是一个圆 ， 故E=0 ， 且C=F 。由于对称性 ， 令Y=s代入 ， 则D=0 。令Z=t代入 ， 则B=0 ， 这时 ， 方程为AX^2+AY^2+AZ^2+GX+IY
+JZ+K=0 。显然 ， 它是一个球体表面方程 ， 通过平移再整理后方程为X1^2+Y1^2+Z1^2=R^2 。
但有一种为三个两两互相垂直的平面 ， 分别与三个坐标面平行且边界为等圆圆形 ， 三圆圆心共点 ， 权且称它们为大圆 。中间过渡部分用平行于坐标平面的平面截立体 ， 其截面边界任一点到大圆圆心的距离小于大圆的半径也成立 ， 但方程就比较复杂难以列示 。故这样的立体又不是球体了 。所以它不一定是球体 ， 球体是它的特殊形状 。
其他网友观点三视图中是这样的 。三视图以上就不是了 。
其他网友观点▋ 一个几何体从xyz三个方向上的投影都是圆形 ， 那么这个几何体一定是球形吗？
答案是否定的！已经有条友给出非球形的反例如下：
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显然 ， 位于三个坐标平面内的三个互相垂直的单位圆盘组成的几何体 ， 从XYZ三个方向投影都是圆 ， 但不是单位圆球 。
▋ 还有什么其他可能？
实际上 ， 单位圆球 ， 在被三个坐标平面分割的八个象限内 ， 任意挖去一部分或全部 ， 剩下的几何体 ， 从XYZ三个方向投影都是圆 。如下图：
文章插图
▋ 那么如何通过投影确定几何体是圆球形呢？
其实 ， 我们只需要从X轴方向开始 ， 以Z轴为轴 ， 旋转半周180°进行投影 ， 只要保证这些投影都是单位圆盘 ， 则几何体一定是单位圆球 。
这是因为 ， 球面是半圆弧线旋转一周360°形成的旋转体（见下图左） ， 而 ， 垂直Z轴投影得到的圆盘的轮廓线 ， 刚好是两个半圆弧 ， 以Z轴旋转半周 ， 就相当于每个半圆弧各自旋转180° ， 这就形成两个半球面 ， 它们和在一起就是一个完整的球面（见下图右） 。
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实际上 ， 古希腊人通过观察地球在月球上的投影变化来确定地球是圆的 ， 就是用了类似的原理 。
【一个几何体从xyz三个方向上的投影都是圆形，那么这个几何体一定是球形吗？还有什么其他可能？】▋ 真的确定是实心的圆球吗？
当然 ， 上面的方法是无法确定圆球内部是否是实心的 ， 要确定圆球内部 ， 我们只能通过截面来判断：
如果一个几何体满足 ，
所有垂直于Z轴的非切截面都是圆盘；垂直于X轴的过YOZ坐标平面的切截面是圆盘；则该几何体是实心圆球 。如下图：
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如果只满足第一条 ， 则无法判断是圆球 ， 因为可能是椭球体（“实心”橄榄球）：
文章插图
第二条可以保证几何体的侧面是圆而非椭圆 。
医学上的核磁共振立体成像 ， 就是用同样的原理 ， 来检查人体内部的 。
海上生明月 ， 天涯共此时 。
情人怨遥夜 ， 竟夕起相思 。
灭烛怜光满 ， 披衣觉露滋 。
不堪盈手赠 ， 还寝梦佳期 。
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万里无云镜九州 ， 最团圆夜是中秋 。今天是中秋佳节 ， 小石头在这里祝愿 ， 全体条友 ， 节日快乐 ， 身体健康 ， 合家欢乐！
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