Not a triangle.非三角形但这仍然不能解释我们是如何得出这样的结论的 。 要回答这个问题 ， 我们必须转向最一般的数学观点：柏拉图主义 。 在柏拉图主义中 ， 数学实体是抽象的、永恒的、永不改变的 。 它们存在于形式世界中 ， 独立于物理世界 。 当我们做数学的时候 ， 我们用我们的头脑进入这个形式的世界 ， 发现其中的真理 。 例如 ， 我们知道三角形有三条边 ， 因为这就是完美三角形在这个“形式世界”中的存在方式 ， 我们可以通过使用我们的理性来了解它 。 你可能认为形式世界的概念有点奇怪 ， 但请允许我换个说法 。 因为像完美的圆和线这样的数学实体在现实世界中并不存在 ， 它们必须存在于某个地方 。 否则我们怎么知道他们？它们存在的地方正是柏拉图主义者所说的形式世界！
Perfect shapes enjoying life in the World of Forms形式世界的完美图形这也符合数学的先验性质 ， 因为数学的正确性不在于实体或定理能否在物理世界中找到 ， 而在于我们能否在形式世界中找到它 。 例如 ， 我们没有通过测量多个物理三角形来证明三角形中内角之和为 180°。 取而代之的是 ， 我们使用了一个我们可以在精神上发现的证据 ， 让我们能够接近这样一个真理：三角形的内角之和等于 180°。 此外 ， 它还解释了为什么数学是普遍正确的 。 当我们聚在一起时 ， 我们都会同意 1+1=2 或者毕达哥拉斯定理是正确的 ， 因为数学是独立于我们的思想而存在的 。 这意味着我们都可以访问存在于形式世界中的同一套通用数学规则和实体 。 事实上 ， 像莱布尼茨和牛顿这样的人独立于他人发明微积分 ， 这也证明了这一点 。 然而 ， 正如许多人会指出的那样 ， “形式世界”的模糊概念并不能真正准确地解释数学实体存在的位置和方式 ， 以及我们是如何了解它们的 。 这似乎有点奇怪 ， 好像有一个神秘的领域 ， 像完美的线条和圆圈这样的物体只是在那里存在 ， 等待着我们以某种方式偶然发现它们 。 这就是为什么有些人可能更喜欢以下观点：直觉主义 。 根据直觉主义者的说法 ， 我们在一些抽象的领域中并没有发现数学实体 。 更确切地说 ， 数学是由人类的思维构建的 。 所有人对数学都有一种原始的直觉 ， 从自然数 1、2、3 开始……这意味着我们对数字1的含义有一个直接理解 ， 并且形成数字 1 的心理过程可以重复得到 2 ， 然后是3 ， 依此类推 。 接下来 ， 我们可以构建数学的其他领域 ， 如算术、代数和集合论 。 这种观点很有吸引力 ， 因为它仍然坚持数学是先验的和普遍的 。 由于数学命题的构造是一种心理活动 ， 它是一种先验行为 ， 这使我们能够确定像 1+1=2 这样的命题是正确的 。 此外 ， 所有人对数学都有相同的直觉 ， 这一事实允许我们提出相同的数学并达成一致 。 此外 ， 根据德哈恩(D-ehaene）的说法 ， 数学是被构造出来的的这一论点似乎提供了“数学与人脑之间关系的最佳解释” 。 现代心理学似乎支持原始数学直觉的观点 ， 它认为我们有某些固有范畴 ， 而我们根据这些固有范畴来理解世界 。 例如研究发现 ， 婴儿天生就具有区分对象和提取小集合数量的先天能力 ， 而在幼儿中 ， 简单的算术似乎在没有太多明确指示的情况下自发出现 。 因此 ， 直觉主义似乎是我们如何做数学的最好解释 。 然而 ， 直觉主义也有一些缺点 。 它的主要问题是 ， 虽然许多定理可以用古典和直觉两种方法来证明 ， 但直觉性定理通常要长得多 ， 因而看起来不那么优雅 ， 这导致许多数学家不愿接受它们 。 尽管如此 ， 我们知道优雅与否并不是检验真理的标准 ， 因此仅仅因为直觉主义不如柏拉图主义优雅而拒绝直觉主义并不是最合理的做法 。 总而言之 ， 一个简单的思维实验说明了为什么看似直观的数学观经验主义是站不住脚的 ， 然后我们比较了两种关于我们如何获得数学知识的观点：柏拉图主义和直觉主义 。 由于数学家和哲学家在这个问题上仍然存在分歧 ， 我选择让读者来决定你们更喜欢哪一个 。 但同时 ， 我希望这篇文章能让你更深入地理解我们所说的 1+1=2 的真正含义 。 作者：Xavier Lien翻译：Nothing审校：Dannis原文链接：https://www.cantorsparadise.com/what-makes-you-so-sure-that-1-1-2-659001f741ba
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