【数学|1+1=1……吧？】你凭什么认为 1+1=2 ？如果我说 1+1=1， 我们可以构造出怎样的数学？让我们首先考虑一个可以说是最基本的数学公式：
这可能是我们小时候学到的第一个等式 。 我们中有些人可能对此还有模糊的记忆：我们的父母把它重复了一遍又一遍 ， 直到我们设法掰着手指去理解它 。 等等 ， 你可能会提出反对意见 。 这个等式有点小问题啊！不应该是：
那么我要问你 ， 你怎么知道“应该是这样的”？你可能会说 ， 这不是很明显吗？当你把一个弹珠和另一个弹珠放在一起 ， 你会得到两个弹珠！你小时候你父母没给你演示过吗？
1 + 1 = 1?根据经验主义者的观点 ， 我们通过经验获得数学知识 。 这可以从我们如何通过与周围世界的互动来学习数学中看出 。 例如 ， 我们的父母可能教我们用周围的各种物体数数或做一些简单的算术 。 但正如开头的的这个思想实验所表明的那样 ， 这种数学观似乎存在一个问题——我们从世界上获得的知识是不确定的 。 为了理解为什么会这样 ， 我们必须更仔细地研究我们是如何学习 1+1=2 的 。 假设一个孩子要开始学习 1+1=2。 首先 ， 父母可能每只手拿一个弹珠 ， 然后再把它们放在一起 ， 让孩子看到现在有两个弹珠 。 他们也可能用饼干、铅笔、数学课本之类的来重复这些演示 。 一段时间后 ， 孩子将开始意识到这个模式 ， 并得出 1+1=2 的（正确的？）结论 。 通过这种方式我们看到 ， 孩子从一个有限数量的样本开始 ， 将一个对象和另一个对象相加 ， 然后再总结他的经验来得出等式 。 问题是 ， 这种总结方法——也被称为归纳法 ， 它也有可能会带来一些错误 。 如果我们遵循这样的逻辑 ， 有时会遇到例外情况 ， 比如说我们将一杯水和另一杯水相加将导致我们得出一个非常不同的结论 。 因此 ， 虽然我们可以通过经验来学习数学 ， 但经验并不能作为数学的全部依据 。 换句话说 ， 虽然我们可以通过操控各种对象来了解 “1+1=2” 的含义 ， 但这并不是该命题为真的原因 。 这一点至关重要 ， 特别是当我们想确认数学知识的正确性的时候 。 经验主义不是数学知识的最佳来源的另一个原因是 ， 它无法解释我们如何获得关于理想和抽象实体的知识 ， 而这些实体在现实世界中并不存在 。 例如 ， 一条线被定义为有长度但没有宽度的对象 ， 但是现实世界中我们不可能绘制出或感知到一条线 。 无论你画的多好 ， 即使它是由计算机绘制的 ， 它在数学上也不是完美的线 ， 因为在放大后 ， “线”只是一系列相邻的像素 ， 它们具有宽度 。 如果这些数学对象在现实世界中不存在 ， 我们怎么能仅仅通过我们的经验来想象它们呢？出于上述原因 ， 数学通常被视为一门先验学科 ， 这意味着我们需要通过理性而不只是经验来认识它 。 这是因为像 1+1=2 这样的命题被视为是分析性的 ， 也就是说 ， 根据定义是真的 。 这意味着否命题 “1+1≠ 2” 是假的 ， 这一点仅仅通过思考（也就是说仅使用理性）就可以明显看出 。 其他例子包括 “三角形有三条边” 或 “平行线永不相交”。 这样一来我们现有的数学知识就是确定的了 ， 因为如果你说 “1+1=1” 或 “三角形有四条边”， 这些命题首先在逻辑上就是不正确的 。
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