把矩阵看作一个算子——从几何角度解释对称矩阵的三个最重要性质( 三 )

这个 \"将标准基与特征向量对齐 \"听起来非常抽象。我们需要思考这个问题：矩阵变换对单位基做了什么？
由基α = {v_1 ， … ， v_n组成的矩阵将一个向量x从标准基变换到由基α构成的坐标系，我们用Aα表示这个矩阵。因此，在对角化的过程中（P-1AP=D）， P将一个向量从标准基送入特征向量， A对其进行缩放，然后P?1将该向量送回标准基。从向量的角度来看，坐标系与标准基对齐。
这种对齐方式如图1.16所示，本例中使用的矩阵为：

式1.17

其中V是一个列向量长度为1的矩阵，每一个都对应于对角线矩阵中的特征值。至于计算，我们可以让Matlab中的eig来完成。
这个性质直接遵循谱定理（ spectral theorem）：

如果A是厄米特矩阵，存在一个由A的特征向量组成的V的正态基，每个特征向量都是实数。

该定理直接指出了将一个对称矩阵对角化的方法。为了直接证明这个性质，我们可以使用矩阵大小（维度）的归纳法。。
正定性这些性质什么时候有用？甚至在正式研究矩阵之前，它们已经被用于解决线性方程组很长时间了。把矩阵看成是运算子，线性方程的信息就储存在这些运算子中，矩阵可以用来研究函数的行为。
除了对称性之外，矩阵还可以有一个更好的性质就是正定性。如果一个对称矩阵是正定的，它的所有特征值都是正的。如果它的所有特征值都是非负的，那么它就是一个半正定矩阵。对于一个正定矩阵，很明显要求它是对称的，因为性质1 ，因为只有当一个数字是实数时，问它是正数还是负数或有多大才有意义。
特征值、特征向量和函数行为
这方面的一个很好的应用是海赛矩阵（Hessian matrix），我们将以此为例来证明使用矩阵来分析函数行为。当我们试图找到一个局部极值时，发现海赛矩阵是正定的将非常有用。海赛矩阵是一个由实数函数的二阶偏微分组成的矩阵。形式上，海赛矩阵被定义为：
我们称H(x)为f的海赛矩阵，它是一个n乘n的矩阵。它与以下内容相同：
这对函数的行为有什么影响？我们来看看一个超级简单的例子。考虑一下函数：
海赛矩阵的计算方法如下：

式2.3

由于它是一个对角矩阵，并且迹（对角线上的元素之和）等于特征向量之和，我们可以立即看到其中一个特征值是2 ，另一个是-2 。它们对应于特征向量v? = [1 0
?和v? = [0 1
? 。这个矩阵是对称的，但不是正定的。因此，在整个?2上没有局部极值，我们只能在x=0 ， y=0点上找到一个鞍点。这意味着在特征值为正的v_1方向上，函数增加，而在特征值为负的v_2方向上，函数减少。该函数的图像如下所示:
现在我们改变符号，将函数改为：
特征向量保持不变，但所有的特征向量都变成了正数。这意味着，在v_1的方向和v_2的方向上，函数都在增长。因此，可以找到局部最小值在x=0 ， y=0处， f(xy)=0 ，这也是全局最小值。该图为：
总结矩阵在许多领域都有广泛的应用。在处理矩阵时，经常会遇到正定义性、特征向量、特征值、对称矩阵等概念。在这篇文章中，介绍了对称（厄米特）矩阵的三个最重要的性质，它们与矩阵的特征向量和特征值有关。这些性质是以几何学方式解释的，但也包括一些代数证明。最后，介绍了一个使用矩阵来分析函数行为的例子。