球的体积,表面积推导 _表面积

要想解决，需要以下几个步骤
【球的体积,表面积推导】祖暅原理
“两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，原文是“幂势既同，则积不容异”，在西方被称为卡瓦列利原理。

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就好比图中的这三个几何体，与底面等距离处的截面积都相等，这三个几何体体积是相等的。祖暅也叫做祖暅之，是祖冲之的儿子。祖冲之父子在数学上均有很大的成就。
牟合方盖
我国古代数学家刘徽、祖冲之父子通过牟合方盖这种工具对球的体积进行推导。所谓的
牟合方盖其实就是立方体被两个直径是立方体边长的圆柱体所截所得的一个图形。正如下方的动图一样。从上方看的视图是正方形，沿着两个圆柱体的方向看视图是圆形。

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牟合方盖的体积
学过解析几何的同学都知道，平面直角坐标系分四个象限，立体坐标系分为八个卦限。象限和卦限是按照我国传统文化来翻译的，也就是易经中说的四象、八卦的意思。
牟合方盖被坐标轴分为8个对称的部分，取第一卦限的部分进行研究。

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结合勾股定理以及祖暅原理，可以知道左边的牟合方盖（八分之一）的体积等于右边的立方体挖去一个与其等底等高锥体之后剩余部分的体积，于是牟合方盖（八分之一）的体体积等于2/3r^3，整个牟合方盖的体积为16/3r^3
将牟合方盖的体积转化为球的体积
取球体的第一卦限的部分（1/8球）研究。可以发现在任意高度的位置上，球体截面积与牟合方盖截面积与的比是π /4 。所以球的体积是4/3π r^3

V=4πr^3/3
S=4πr^2
r^2表示r的平方
体积推导：
以球的一条直径为轴;球心置于坐标原点;所选直径与Z轴重合.则轴上在距球心z处与轴垂直的截面圆半径为r=√(R^2-z^2).其面积为π·r^2=π·(R^2-z^2).
则以它为底,以dz为高的圆柱形微元体积为 π·(R^2-z^2)dz.
则圆球的体积公式为∫(从-R到R)π·(R^2-z^2)dz
=π·R^2(R-(-R))-π·(1/3)·(2R^3)
=(4/3)π·R^3
表面积推导：
让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2 。求球的表面积。
以x为积分变量，积分限是[－R，R] 。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR