代数基本定理欧拉线的证明 _生活百科

高斯的博士论文解决的问题

文章插图
高斯在他的博士论文中证明了如下的命题，使之升级为了定理：一个带有复数系数的n次代数方程g（x）=0，其中n为正整数：

文章插图
至少有一个复数解。（在这里我们把实数看成虚部为零的复数）
人们称上述高斯的结论为代数基本定理。
上述定理在欧拉的有生之年都未得到证明，但是欧拉直接将其应用到了无穷级数的研究当中。

文章插图
应用上述定理可证明如下命题：
多项式g（x）：

文章插图
可以恰好分解为n个一次因式的乘积：

文章插图
【代数基本定理欧拉线的证明】
其中b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根。
我们可以应用高斯论文中的结论证明这个命题！
证明让我们考虑如下的多项式：

文章插图
我们发现当给这个多项式乘以一个因子x-a时，我们有：

文章插图
这样我们得到了一般的结论：

文章插图
根据上述公式我们可以知道：

文章插图
下面我们观察一个多项式g（x）如下图所示：

文章插图
由高斯论文中的结论可知，g（x）=0必有一个复数根我们记为b，那么我们观察如下推导，我们得到了之前我们探究过的因式分解的形式：

文章插图
因为g（b）=0我们可知：g（x）-g（b）=g（x），我们可以提出一个因子x-b得到如下关系：

文章插图
我们对h（x）也进行g（x）的操作，我们可以不断这样操作，不断地提取因子，将g（x）写成如下形式：

文章插图
此时我们还不知道这些b1，b2...bn 是不是g（x）=0的所有的根，我们假设不是这样的，还有另一个根c，我们得到了如下复数乘积的形式，由于c是g（x）的根，所以g（c）=0：

文章插图
如果若干复数相乘乘积为零，必须至少有一个复数为零，因此可知c是b1，b2...bn 中的一个，所以我们证明了b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根。
因此我们根据高斯博士论文中的结论证明了多项式g（x）可以恰好分解为n个一次因式的乘积。

代数基本定理欧拉线的证明