萧箫 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI
先来看一道简单的几何问题：
下图中 ， 黑圆恰好将红圆的面积等分 ， 且黑圆的圆心恰好在红圆上 。 假设红圆半径为R ， 黑圆半径为r ， 求r 。
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是不是感觉已经信手拈来 ， 能在纸上演算一通了？
然而 ， 就是这个看起来简单的数学难题 ， 让数学家们想了几百年 ， 都没能给出它的解析解 。
解析解 ， 指用精确的数学表达式写出的方程解 。 有些方程难以求出解析解 ， 只能写出近似解 。 如下图 ， x=cos(x)就没有解析解 ， 方程的解只能近似为x≈0.7390…
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△x=cos(x) ， x没有解析解
这个难倒数学家的问题 ， 叫做「山羊问题」 （goat problem） ， 最初的问题描述是这样的：
将一只山羊拴在面积为1英亩的圆形草地的围栏上 ， 请问栓多长的绳子 ， 才能让山羊刚好吃到半英亩的草？
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问题提出后 ， 已有数学家给出了2种求解方程 。
但 ， 仅仅是“方程”：
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这个问题的精确答案 ， 即如何准确地用围栏半径来表示绳子长度 ， 却一直悬而未解 。
美国海军学院数学家Mark Meyerson曾表示 ， 对于这一问题 ， 此前“没人知道确切答案 ， 解决方法只是大致给出的 。 ”
直到今年 ， 才有一位叫做Ingo Ullisch的德国数学家 ， 给出了这个问题的解析解 。
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从迭代到积分 ， 求出来的还是方程
如果用数学的语言来描述这个问题 ， 它是这样的：
一个半径为R的圆A ， 与另一个半径为r的圆B相交 ， 其中圆B的圆心在圆A上 ， 且两个圆的相交面积为圆A面积的一半 ， 求解r 。
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如果只是列出有关r的方程 ， 目前已经有两种方案 。
第一种方案 ， 代入求解透镜面积的方程 。
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透镜由两个（半径相同或不同的）圆相交构成 ， 求解它的面积A ， 目前已有这么一个公式（其中 ， 两圆半径为R和r ， 圆心之间的距离为d）：
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显然 ， 「山羊问题」也能用透镜面积方程来求解 。
假设围栏的半径为1 ， 那么在「山羊问题」中 ， 求解条件将变成R=d=1 ， 且A=1/2π ， 求解出来的r符合这一方程式：
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这个方程需要用迭代法求解 ， 能得到r=1.1587…的答案 。
但这不是数学家想要的结果 。
不愿意就此放弃的数学家们 ， 试图用求积分来解决这一问题 ， 并给出了第二种方案：
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这次 ， 他们求出了左边有r的式子 ， 但遗憾的是 ， 这其实是个超越方程 （指方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数 ， 类似于x=cosx）：
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这些看似都能求解出r ， 但实际上只能算出数值解 ， 而非解析解 。
最后用上了复变函数
直到今年 ， 一个名为Ingo Ullisch的科学家 ， 才终于给出了问题精准的解析解 。
不过 ， 为了求解这一问题 ， 他甚至用上了复变函数的知识 ， 这也使得式子变得复杂不已 。
但也得益于他的贡献 ， 这一问题自被提出以来 ， 第一次有了解析解：
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那么 ， 这个式子是怎么被求解出来的呢？
根据Ullisch的思路 ， 他以两个圆的圆心与其中一个交点相连 ， 组成了一个三角形 ， 如下图所示 。
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其中 ， 三角形的两个底角分别被设为α/2和β/2 。
在经过一系列复杂运算后 ， Ullisch将式子简化成了下面这个方程：
求解这一方程 ， 就能得到解析解 ， 但会用到复变函数相关的定理 。
Ullisch表示 ， 这一问题之所以复杂 ， 是因为问题本质上相当于给定了一个面积固定值 ， 并倒推出它的输入 。
但如果想要逆转这一过程 ， 反向求解出输入的定义 ， 问题就会变得棘手 。
CMU的数学教授Michael Harrison表示 ， 这是他所知道的有关「山羊问题」的第一个明确的解析解 。
“这绝对是一个进步 。 ”
这也是山羊问题系列中 ， 最原始、最根本 ， 也是最难的问题之一 。
有关山羊的问题 ， 还有这么多
事实上 ， 自1748年来 ， 数学家们还从最原始的山羊问题中 ， 思考出了各种问题的变体（换着花样找难题做） 。
例如 ， 除了让山羊在围栏内吃草 ， 还让山羊到围栏外吃草 ， 并计算它能吃到的最大草地面积（其中 ， 绳索长度和围栏周长固定）：
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此外 ， 甚至还让羊飞上了空中 ， 让它在三维的世界里吃草（空间中的山羊问题）：
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当然 ， 根本问题还是求解球的半径r ， 使得两个相交球的相交体积正好是单位球体积的一半 。
不过 ， 兰卡斯特大学的数学教授Graham Jameson表示：“三维问题实际上比二维问题更容易解决 。 ”
数学家Fraser表示 ， 这是因为 ， 如果将问题放在无限的维度中 ， 数学家们可以推论出一个更明确的答案 。
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例如 ， 将这个问题放到n维空间时 ， Fraser就推算出 ， 当n接近无穷大的时候 ， 绳子与限定球体的半径比接近于√2 。
然而在二维世界里 ， 这种明确的答案反而很难找 。
因此 ， 这次Ullisch求出的解析解 ， 也是「山羊问题」系列的重大突破 。
不过Ullisch也承认 ， 这一问题的解决 ， 并不会颠覆教科书或数学的研究 ， 因为它只是一个孤立问题 ， 不仅与其他问题无关 ， 也没有嵌入数学理论 。
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但数学家们仍然非常激动 。
Mark Meyerson表示：
为数学题寻找新的解法 ， 通常是很有价值的 ， 这些解法不仅可以再次给已解决的问题带来新思路 ， 还可以将之推广到其他问题上 。
数学家Harrison则认为：
虽然解决放牧山羊的问题不会取得突破性的数学成果 ， 但数学领域的新方向 ， 永远可能来自任何地方 。
而提出山羊问题超越方程的Hoffman ， 也有类似的看法：
并非所有的数学进步都来自于取得根本性突破的人 。 有时候 ， 这种进步也包括研究经典方法并找到新的角度 ， 最终可能会带来意想不到的效果 。
当然 ， 网友在祝贺之余 ， 也有表示这一问题“不太符合生活常理”的：
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我认为这个问题 ， 是没有山羊相关的经验的人提出的 。 因为我一想到山羊 ， 就会想到它们在拼命跳篱笆、嚼绳子……这让我没办法专心解决这个问题 。
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山羊问题解析解论文：
https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-020-09966-0
参考链接：
https://news.ycombinator.com/item?id=25375575
https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-centuries-old-grazing-goat-problem-exactly-20201209/
https://en.wikipedia.org/wiki/Goat_problem#cite_note-1
— 完 —
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_原题《两圆重叠问题你会求解吗？这个问题的准确答案 ， 德国数学家最近才找到》
【山羊|两圆重叠问题你会求解吗？这个问题的准确答案，德国数学家最近才找到】阅读原文
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