运用“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角形任意两边之差小于第三边” ， 可以解决三角形三边之间的关系问题 。 由于这两个知识点后者可以由前者推得 ， 所以处理三角形三边之间的关系问题有前者就足够了 。 前一知识点的另一个说法是：若a、b、c分别为三角形的三边 ， 则可以随意推得下列结论中的一个或几个 ， 即a+b>c ， ①b+c>a ， ②c+a>b③；反之 ， 若要使a、b、c能够成为某个三角形的三边（构成三角形） ， 则①、②、③必须同时成立 ， 缺一不可 。
一、三边大小关系确定型
若a≥b≥c ， 则①、③两式恒成立 ， 此时只须满足b+c>a即可 ， 亦即三角形较小两边之和大于最大边 。
例1、已知线段a、b、c的长度满足a<b<c ， 那么以a、b、c组成三角形的条件是（ ）
A、c-a<b
B、2b<a+c
C、c-b>a
D、b 2 <ac
解析：C为最长边 ， 故a+b>c即可 ， 由此式有c-a<b ， 故本题应选A 。
例2、设a>0 ， 某三角形的三边长依次为a-2 ， a ， a+3 ， 求a的取值范围 。
解析：易知a-2<a<a+3 ， 则（a-2）+a>a+3 ， 故a>5 。
例3、下列能组成三角形的一组线段是（ ）
A、2 ， 3 ， 5
B、2 ， 6 ， 3
C、a+2 ， 2a+3 ， 3a+4（a>0）
D、1-a ， 2-a ， 3-2a（a<0）
解析：在A中 ， 2+3=5；在B中2+3<6；在C中 ， a+2<2a+3<3a+4 ， 且有（a+2）+（2a+3）>3a+4；在D中 ， （1-a）+（2-a）=3-2a 。 综上可知 ， A、B、D应排除 ， 正确答案为C 。
二、仅有两边大小关系确定型
若a≥b ， 则③式恒成立 ， 此时只须满足a+b>c且b+c>a即可 ， 针对第三边c ， 由此两式易得a-b<c<a+b ， 亦即三角形的第三边大于长边与短边之差 ， 而小于长边与短边之和 。
例4、两根木棒的长分别为8cm ， 10cm ， 要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形 ， 那么第三根木棒长x的范围是 。
【b>c|初二数学上册期中高频考点之三角形三边关系】解析：因10>8 ， 故l0cm-8cm<x<10cm+8cm ， 即2cm<x<18cm 。
例5、已知等腰三角形的周长为20 ， 腰长为x ， 求x的取值范围 。
解析：易知三边长分别为x ， x ， 20-2x ， 因x=x ， 故视20-2x为第三边 ， 则x-x<20-2x<x+x ， 即0<20-2x<2x 。 解得5<x<10 。
例6、已知：三角形的一边是另一边的2倍 ， 求证：它的最小边长在它周长的 与 之间 。
解析：设三边分别为a ， b ， c ， 且a=2b 。 因a>b ， c为第三边 ， 故a-b<c<a+b ， 即2b-b<c<2b+b 。 ∴b<c<3b ， 由此知b为最小边 ， 并继续有（a+b）+b<（a+b）+c<（a+b）+3b ， ∴2b+b+b<a+b+c<2b+b+3b ， 4b<a+b+c<6b ， 解得 （a+b+c）<b< （a+b+c） 。
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